Три форми диференцiальних рiвнянь

РОЗДІЛ 1. ДИНАМIКА МАТЕРIАЛЬНОЇ ТОЧКИ

Предмет динамiки. Маса

 

Динамiка - це роздiл теоретичної механiки, в якому вивчаються закони механiчного руху тiл пiд дiєю прикладених до них сил.

Основнi закони динамiки були сформульованi I. Ньютоном в безсмертнiй працi ”Математичнi начала натуральної філософії” (1687 р.).

 Маса - фiзична характеристика матерiальних об’єктiв, яка є мiрою їх iнерцiйних i гравiтацiйних властивостей. Виразником iнерцiйних властивостей тiла маса виступає в законах динаміки; виразником гравiтацiйних властивостей маса входить в закон тяжiння.

За І. Ньютоном маса тiл вимiрюється порiвнянням їх ваги на терезах з коромислом.

У одного тiла маса гравiтацiйна та маса iнерцiйна збiгаються.

Тiло з масою   m  має енергiю Е = mс ² (тут с = 3·10⁸ м/с - швидкiсть свiтла в вакуумi).

 

 

Закони Ньютона

 

Перший закон Ньютона - закон інерції: будь-яке тiло продовжує зберiгати свiй стан спокою або рiвномiрного прямолiнiйного руху, поки i оскiльки його не спонукають змiнити цей стан прикладенi сили. Тут під термiном ”будь-яке тiло” треба розумiти матерiальну точку.

Перший закон стверджує динамiчну рiвноправнiсть стану спокою i рiвномiрного прямолiнiйного руху. Два стани - спокою i рiвномiрного прямолiнiйного руху - Ньютон розглядає як природнi стани всякого тiла. Здатнiсть тiл перебувати в цих природних станах i є те, що називається iнерцiєю тiл.

Закон iнерцiї справедливий тiльки вiдносно цiлком певної системи вiдлiку – ”iнерцiальної” системи. При розглядi бiльшостi технiчних задач iнерцiальною можна вважати систему, незмiнно пов’язану із Землею.

Другий закон - закон дiї сил: змiна кiлькостi руху матерiальної точки пропорцiональна прикладенiй рушiйнiй силi i вiдбувається в напрямi тiєї прямої, по якiй ця сила дiє

,                             (2.1)

де m - маса матерiальної точки ,    - її швидкiсть, - сила, яку прикладено до точки, k - коефiцiєнт пропорцiональностi.

В усiх системах одиниць вибiр одиниць вимiрювання сили i маси узгоджено в такий спосiб, що коефiцiєнт пропорціональності k  дорiвнює безрозмiрнiй одиницi.

При m = const i d /dt =  ( - прискорення матерiальної точки) маємо

m  = .                                 (2.2)

Рiвнiсть (2.2) читається так: у кожний момент часу добуток маси матерiальної точки та її прискорення дорiвнює рушiйнiй силi, а напрям вектора прискорення збiгається з напрямом сили.

Рiвнiсть (2.2), яка виражає другий закон Ньютона, справедлива лише за умови, що рух матерiальної точки вiднесено до iнерцiальної системи вiдлiку.

 

Третiй закон - закон взаємодiї тіл: дiї завжди вiдповiдає рiвна їй i протилежно направлена протидiя; iнакше кажучи, - сили взаємодiї двох матерiальних точок завжди мiж собою рiвнi i направленi в протилежнi сторони.

Третiй закон Ньютона стверджує, що в природi iснує тiльки взаємодiя тiл, причому дiя i протидiя за величиною рiвнi, а за напрямком протилежнi. Це справедливо і у випадку спокою, і у випадку руху тiл. Наприклад, Земля i камiнь, що падає на неї, є цiлком рiвноправними тiлами: сила притягання каменя до Землi дорiвнює силi притягання Землi до каменя. З цього i з рiвняння (2.2) випливає, що прискорення взаємодiючих тiл - Землi i каменя - обернено пропорцiональне їх масам.

 

Четвертий закон - закон незалежностi дiї сил: якщо на матерiальну точку дiють кiлька сил одночасно, то вони надають точцi такого складного руху, який складається кiнематично з рухiв, що їх кожна сила окремо здатна надати точцi без початкової швидкостi; якщо ж точка вже має швидкiсть i на неї дiє ще й сила, то рух точки складається кiнематично з руху за iнерцiєю i руху вiд дiї сили.

Математичний змiст принципу незалежностi дiї сил такий: при одночаснiй дiї на матерiальну точку сил  i  прискорення точки дорiвнюватиме геометричнiй сумi тих прискорень, якi були б при роздiльнiй дiї сил:

.                                  (2.3)

Вiдомо, що геометрична сума прикладених до точки сил називається рiвнодiйною:

 = + .

Тоді

m  = .

Якщо на точку дiють одночасно декiлька сил, то другий закон Ньютона записують у виглядi:

.         (2.4)

Три форми диференцiальних рiвнянь

 

Векторна форма

 

Запишемо другий закон Ньютона так:

,                           (3.1)

де m – маса точки, d ² /dt ² =  – її прискорення,  – рiвнодiйна сил, прикладених до точки.

Рiвнiсть (3.1) називається основним диференцiальним рiвнянням руху матерiальної точки у векторнiй формi.

 

Координатна форма

 

Проектуємо рiвняння (3.1) на осi прямокутної декартової системи координат Oxyz:

     (3.2)

де F_x, F_y, F_z - проекцiї сили на декартовi осi координат.

Рiвняння руху в цилiндричних координатах:

                       (3.3)

де F_r, F_φ, F_z - проекцiї рiвнодiйної прикладених до точки сил на вiсi r, φ, z (рис. 3.1).

 

Рис. 3.1

Натуральна форма

 

Розкладаючи вектор прискорення на два компоненти по взаємно перпендикулярних напрямах дотичної i головної нормалi, одержимо:

                         (3.4)

В такому разi рiвняння руху в натуральнiй формi будуть мати вигляд:

                            (3.5)

де F_τ i F_n – проекцiї на додатно зорiєнтованi дотичну i головну нормаль рiвнодiйної   сил, що дiють на точку (рис. 3.2).

Сила  i прискорення  точки завжди лежать у стичнiй площинi, орiєнтацiя якої в просторi визначається одиничними векторами  i . Проекцiя сили   на бiнормаль  дорiвнює нулю.

Рис. 3. 1.

 

Рис. 3.2

 

 

§ 4. Двi основнi задачi динамiки точки. План їх розв’язання

 

У динамiцi матерiальної точки можна ставити i розв’язувати задачi двох основних типiв.

 

Перша основна задача.

Вiдомий закон руху матерiальної точки

r = r (t),                                         (4.1)

треба визначити рiвнодiйну  сил, якi зумовили рух точки. Маса точки задається.

Спосiб розв’язування задачi: диференцiюємо двiчi рiвняння (4.1) i знаходимо прискорення  (вiрнiше, його проекцiї). За диференцiальним рiвнянням руху знаходимо силу  або її проекцiї.

Друга основна задача (обернена).

Заданими є сила F = F (t, r, v) i ”початковi умови”: в певний (початковий) момент часу t ₀ заданi радiус-вектор  i швидкiсть v ₀ точки. Вiдома також маса точки. Треба знайти закон руху r = =r (t) точки в просторi.

Щоб розв’язати цю задачу, треба скласти диференцiальнi рiвняння руху i проiнтегрувати їх.

Момент часу t ₀ називається початковим; положення точки, яке визначається радiус-вектором , називається початковим положенням; швидкiсть точки в момент часу t ₀ називається початковою швидкiстю v ₀.

При розв’язуваннi задач динаміки матеріальної точки корисно додержуватись такого плану:

1) аналiз сил. Для цього треба:

а) видiлити дослiджуване тiло;

б) вказати усi навколишнi тiла, якi дiють на дослiджуване тiло;

в) визначити всi сили, що дiють на об’єкт дослiдження в русi вiдповiдно до тiл, перелiчених в пунктi б);

г) вказати залежнiсть сил вiд фiзичних параметрiв: часу, положення (координат), швидкостi i т. iн.;

2) показати на рисунку матерiальну точку (тiло) і прикладенi до неї заданi сили в довільний момент часу;

3) звiльнити точку вiд в’язей i показати сили реакцiй в’язей;

4) вибрати систему вiдлiку;

5) скласти диференцiальнi рiвняння руху матерiальної точки;

6) розв’язати складенi рiвняння руху;

7) проаналiзувати розв’язок.

 

Зауваження. Для закріплення матеріалу §§3-4 необхідно розв’язати задачі зі збірника “Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. – М. Наука, 1981 (1986)“:

1) № 26.1, 26.2, 26.5, 26.6, 26.8; 27.1, 27.2, 27.4, 27.30, 27.40, 27.47;

2) № 26.9, 26.10, 26.13, 26.14, 26.17-26.20, 26.24, 26.26; 27.7, 27.9, 27.16, 27.17, 27.22, 27.26, 27.32, 27.37, 27.49, 27.54, 27.58;

3) № 26.31-26.35; 27.36, 27.38, 27.60, 27.61, 27.64, 27.65.

Рекомендується розв’язати також задачі № 8.3, 8.4, 8.6, 8.7, 8.8, 8.13, 8.15, 8.16, 8.18 зі збірника “Сборник задач по теоретической механике /Под ред. К. С. Колесникова. – М., Наука, 1989”.