Теорема про змiну кiнетичної енергiї матерiальної точки. Потенцiальнi силовi поля. Закон збереження механiчної енергiї точки

Теорема про змiну кiнетичної енергiї точки. Прирiст кiнетичної енергiї рухомої матерiальної точки на нескiнченно малому її перемiщеннi дорiвнює елементарнiй роботi прикладеної сили на тому ж перемiщеннi:

dT = d (mv ² / 2) = = δA, (9.29)

де m - маса матерiальної точки, v - її швидкість, dr = vdt - елементарне перемiщення точки за проміжок часу dt, Т - кiнетична енергія точки.

Якщо проiнтегрувати рiвняння (9.29) вiд початкового положення точки до кiнцевого, то одержимо

(9.30)

З рiвняння (9.30) випливає теорема: прирiст кiнетичної енергiї рухомої матерiальної точки дорiвнює роботi прикладеної сили на даному вiдрiзку шляху.

Силовi поля. Закон збереження механiчної енергiї матерiальної точки.

Частина простору, в кожнiй точцi якого на матерiальну точку дiє певна сила, що є однозначною функцiєю координат точки i, можливо, часу, але не залежить вiд швидкостi руху точки, називається силовим полем.

Силове поле, сили якого не залежать вiд часу, називається стацiонарним.

Стацiонарне силове поле, в якому робота сили поля, прикладеної до матерiальної точки, що рухається в ньому, залежить вiд початкового i кiнцевого положень цiєї точки, а значить, не залежить вiд шляху, по якому перемiщується точка в просторi, називається потенцiальним.

Прикладами потенцiальних силових полiв є: поле тяжiння, електростатичне поле, поле пружних сил.

Потенцiальна енергiя в даному положеннi матерiальної точки визначається роботою сили поля на перемiщеннi точки iз заданого її положення в певне фiксоване:

(9.31)

Отже, елементарна робота, виконувана силою потенцiального силового поля, дорiвнює повному диференцiалу потенцiальної енергiї, взятому зi знаком ”мінус”.

При русi матерiальної точки в потенцiальному силовому полi повна механiчна енергiя точки зберiгає сталу величину:

dT = δA = - dU;

(mv ² / 2) + U (x, y, z) = H. (9.32)

Суму кiнетичної та потенцiальної енергiй називають повною механiчною енергiєю точки.

При розв’язуваннi задач на застосування теореми про змiну кiнетичної енергiї матерiальної точки доцiльно дотримуватися такого порядку:

1) вибрати об’єкт дослiдження, прийняти його за матерiальну точку i показати її в довiльний момент часу;

2) прикласти активнi (заданi) сили;

3) вiдкинути в’язi, замiнивши їх реакцiями;

4) застосувати теорему про змiну кiнетичної енергiї для деякого вiдрiзку шляху;

5) виразити кiнетичну енергiю в початковий i кiнцевий моменти часу i роботу всiх сил, прикладених до точки, через заданi i шуканi величини;

6) розв’язати одержане рiвняння.

Зауваження. Для закріплення матеріалу §9 (пункти 9.2 і 9.3) необхідно розв’язати задачі зі збірника “Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. – М., Наука, 1981 (1986)”: