Теорема про змiну моменту кiлькостi руху матерiальної точки. Закон збереження моменту кiлькостi руху матерiальної точки

 

Моментом кiлькостi руху матерiальної точки М маси m вiдносно даного центра О називають вектор

                (9.33)

що є векторним добутком радiуса-вектора  =  та кiлькості руху  цiєї точки.

Теорема про змiну момента кiлькостi руху: похiдна за часом вiд моменту кiлькостi руху матерiальної точки, взятого вiдносно нерухомої точки простору, дорiвнює моменту діючої сили вiдносно тiєї ж самої точки простору:

              (9.34)

Вектор напрямлений по перпендикуляру до площини, в якiй в даний момент лежать сила  i центр О, вектор - по перпендикуляру до площини, в якiй лежать кiлькiсть руху  i центр О (рис. 9.3).

Величина вектора M_O  дорiвнює:

M_O  = F × H,                            (9.35)

де Н - довжина перпендикуляра, проведеного з точки О на напрям сили .

Величина вектора M_O  дорiвнює:

M_O (m ) = mvh,                            (9.36)

де h - довжина перпендикуляра, проведеного з центру О на напрям вектора .

Швидкiсть змiни вектора   дорiвнює вектору .

Як завжди, векторна рiвнiсть (9.34) еквiвалентна до трьох скалярних рівнянь:

 

Рис. 9. 3.

                  (9.37)

 

Кожна з трьох рiвностей виражає теорему моментiв вiдносно осi: похiдна за часом вiд моменту кiлькостi руху матерiальної точки вiдносно нерухомої осi дорiвнює моменту сили, що дiє на точку, вiдносно цiєї ж осi.

У розгорнутому виглядi рiвняння (9.37) мають вигляд:

               (9.38)

Тут х, у, z - координати рухомої точки, F_x, F_y, F_z - проекцiї прикладеної до точки сили на вісі x, y, z.

Закон збереження моменту кiлькостi руху матерiальної точки:

а) якщо момент прикладеної до матерiальної точки сили вiдносно нерухомого центра дорiвнює нулю, то момент кiлькостi руху точки вiдносно того ж центра зберiгає незмiнними величину i напрям.

Справдi, при умовi  з рiвностi (9.34) маємо

Оскiльки m = соnst, то  тобто в даному випадку момент швидкостi є сталою величиною;

б) якщо момент прикладеної до точки сили відносно нерухомої осі дорiвнює нулю, то момент кiлькостi руху матерiальної точки вiдносно тiєї ж осi зберiгає незмiнну величину.

При розв’язуваннi задач на застосування теореми про змiну моменту кiлькостi руху матерiальної точки доцiльно дотримуватись такого порядку:

1) вибрати систему координат. Якщо точка рухається по дузi кола, то одну з осей слiд направити через центр кола, а другу вiсь вибрати дотичною до кола;

2) показати на рисунку сили, прикладенi до матерiальної точки, тобто активнi сили i сили реакцiй в’язей;

3) обчислити суми моментiв сил, прикладених до матерiальної точки, вiдносно осей координат;

4) показати на рисунку вектор кiлькостi руху матерiальної точки, записати вираз моментiв кiлькостi руху вiдносно осей координат i взяти вiд них похiдні за часом;

5) скласти рiвняння теореми про змiну моменту кiлькостi руху матерiальної точки;

6) визначити згiдно умови задачi необхiднi величини.