Самая общая формулировка закона движения системы с степенями свободы дается принципом наименьшего действия (или принципом Гамильтона). Согласно этому принципу, каждая механическая система полностью характеризуется своей функцией Лагранжа. Функция Лагранжа зависит от обобщенных координат , обобщенных скоростей и времени :
(1)
Для сокращения записи обычно пишут:
(2)
Пусть в начальный и конечный моменты времени и , положение всех точек системы характеризуются двумя наборами значений обобщенных координат: и ; . Тогда интеграл по времени
(3)
называется действием для данной механической системы.
Принцип наименьшего действия формулируется следующим образом: пусть известна функция Лагранжа для данной системы. Тогда, между начальным и конечным положениями, система будет двигаться таким образом, чтобы интеграл действия имел наименьшее значение:
|
|
(4)
только те функции , которые удовлетворяют условию минимума действия и будут являться истинными "траекториями" движения. Из условия (4) можно получить уравнения для истинных траекторий движения всех точек между начальным и конечным положением системы. Эти уравнения называются уравнениями Лагранжа.
Получим эти уравнения. Для простоты рассмотрим систему с одной степенью свободы: . Пусть в моменты времени и система находилась в заданных положениях и . Рассмотрим траекторию , «близкую» к и проходящую через те же самые точки и
Функция является «малой» добавкой к : . Понятно, что для начального и для конечного положения системы (см. рисунок). Тогда, для новой обобщенной скорости будем иметь
Условие экстремальности действия определяется равенством нулю его вариации:
(5)
Это условие есть обобщение хорошо известного признака экстремальности функции : в тех точках, где функция имеет минимум или максимум, её производная . Следовательно, равен нулю и её дифференциал: . Формула (5) фактически обобщает признак экстремальности функции для функционала, которым и является интеграл действия.
Вычислим эту вариацию . Учитывая, что при
,
запишем
Проинтегрируем второе слагаемое по частям и учтем, что :
Теперь условие экстремальности действия запишется так:
(6)
Поскольку функция - произвольная, то условие (6) может быть удовлетворено только в случае - когда выражение в его фигурных скобках обращается в ноль:
(7)
|
|
Это и есть уравнение Лагранжа. для мех. системы с одной степенью свободы. Конкретный вид уравнения (7) зависит от конкретного вида ф. Лагранжа. О том, что собой представляет ф. Лагранжа речь пойдет ниже.
Поскольку уравнение Лагранжа (7) является дифференциальным уравнением второго порядка, его общее решение зависит от двух произвольных констант: . Чтобы определить эти константы необходимо задать два начальных условия: и . Таким образом, для определения закона движения системы с одной степенью свободы необходимо решить задачу Коши:
(8)
Если система имеет степеней свободы ( ), то вариацию действия нужно осуществлять независимо по каждой обобщенной координате . В результате получим систему однотипных уравнений с начальными условиями:
(9)
В компактном виде систему уравнений и начальных условий (9) обычно записывают так:
(10)
Основные свойства функции Лагранжа:
1. Функцию Лагранжа можно умножить на любое число. Уравнения Лагранжа (10) при этом не изменяются.
2. Функция Лагранжа обладает важным свойством аддитивности.
Пусть система АВ состоит из двух подсистем: А и В. Её Функция Лагранжа будет зависеть от обобщенных координат и скоростей всех частиц подсистемы А, т.е. от , и всех частиц подсистемы В, т.е. от . Предположим теперь, что подсистемы А и В начнут удаляться друг от друга на очень большое расстояние: (см. рисунок).
Понятно, что в этом случае движение точек в подсистемах А и В будет происходить независимо и никак не влиять друг на друга. Но это означает, что уравнения Лагранжа для системы АВ должны распасться на две независимые системы уравнений для подсистем А и В, соответственно:
и
Для этого необходимо, чтобы
(11)
3. Функция Лагранжа любой мех. системы определена неоднозначно, а с точностью до полной производной по времени от произвольной функции координат и времени.
Действительно, пусть , где - произвольная функция. Запишем действие , используя ф. Лагранжа :
Следовательно
Величина, стоящая в фигурных скобках, есть некоторое число, которое исчезает при вариации действия. Поэтому при любом виде функции , а уравнения Лагранжа будут иметь один и тот же вид независимо от того, какую функцию Лагранжа или мы выбираем.