Функция Лагранжа свободной материальной точки. Функция Лагранжа системы взаимодействующих частиц

Определим теперь вид функции Лагранжа для одной свободной частицы. Как показано выше, в этом случае . При этом уравнения движения во всех инерциальных отчетах должны иметь один и тот же вид.

Пусть система движется относительно с постоянной скоростью . Тогда функция Лагранжа в системе должна перейти в такую функцию в системе , которая, если и отличается от функции , то лишь на полную производную какой-то функции координат и времени. Поскольку , то

, т.е. (7)

Учитывая это, сразу получаем, что для свободной частицы ф. Лагранжа должна быть пропорциональна квадрату скорости:

(8)

Уравнение Лагранжа для свободной частицы теперь будет выглядеть так:

, т.е.

Сравнивая это с уравнением второго закона Ньютона для свободной частицы , находим, что . Здесь - инертная масса тела. Таким образом, окончательно получаем следующее выражение для функции Лагранжа одной свободной частицы:

(9)

Отметим, что в этом пункте мы существенно воспользовались вторым законом Ньютона. Иначе мы не смогли бы понять, что есть .

Если механическая система состоит не из одной, а из невзаимодействующих частиц, то в силу свойства аддитивности функции Лагранжа, получим

(10)

Величина

(11)

называется кинетическойэнергией - ой частицы.

Сумма кинетических энергий всех частиц есть полная кинетическая энергия системы:

(12)

Таким образом, кинетическая энергия есть величина аддитивная.

Рассмотрим теперь систему м.т., взаимодействующих только друг с другом, но ни с какими посторонними телами, не входящими в эту систему. Такая система называется замкнутой системой.

Оказывается, что в классической механике, когда скорости частиц малы по сравнению со скоростью света , взаимодействие между точками системы может быть описано прибавлением к функции Лагранжа невзаимодействующих точек, некоторой функции координат . Конкретный вид этой функции зависит от характера взаимодействия между частицами. Величина называется потенциальной энергией системы. С учетом сказанного, в самом общем виде, ф. Лагранжа для замкнутой системы из м.т. в декартовой системе координат будет выглядеть так:

(13)

Потенциальная энергия зависит от положения всех м.т. в один и тот же момент времени . Это означает, что изменение положения хотя бы одной из них, мгновенно отражается на всех остальных. Следовательно, в классической механике считается, что взаимодействие между телами «распространяется» мгновенно, с бесконечно большой скоростью.

Зная функцию Лагранжа, можем записать систему уравнений Лагранжа в следующем символическом векторном виде:

, (14)

Поскольку , а , то система уравнений (14) примет вид:

, (15)

Вектор

(16)

называется силой, действующей на -ю частицу, со стороны всех остальных частиц системы. Вместе с сила зависит только от координат частиц, но не от их скоростей: . Теперь система уравнений Лагранжа запишется так:

(17)

Таким образом, если в качестве обобщенных координат выбрать декартовы координаты, уравнения Лагранжа сводятся к системе уравнений второго закона Ньютона.

При решении большинства задач, оказывается удобным использовать не декартовы, а некоторые обобщенные координаты . В этом случае для написания функции. Лагранжа нужно произвести соответствующие преобразования. Прежде всего, нужно выразить все декартовы координаты точек через обобщенные координаты :

Затем нужно выразить кинетическую энергию системы через выбранные обобщенныекоординаты. Т.к.

то

Обозначим

(18)

Отсюда видно, что матрица зависит только от обобщенных координат и является симметричной матрицей. Таким образом, в обобщенных координатах кинетическая энергия системы по-прежнему является квадратичной функцией скоростей, но может зависеть и от обобщенных координат: