Функция Лагранжа системы взаимодействующих частиц. Функция Лагранжа в декартовых и обобщённых координатах

Если механическая система состоит не из одной, а из невзаимодействующих частиц, то в силу свойства аддитивности функции Лагранжа, получим

(10)

Величина

(11)

называется кинетическойэнергией - ой частицы.

Сумма кинетических энергий всех частиц есть полная кинетическая энергия системы:

(12)

Таким образом, кинетическая энергия есть величина аддитивная.

Рассмотрим теперь систему м.т., взаимодействующих только друг с другом, но ни с какими посторонними телами, не входящими в эту систему. Такая система называется замкнутой системой.

Оказывается, что в классической механике, когда скорости частиц малы по сравнению со скоростью света , взаимодействие между точками системы может быть описано прибавлением к функции Лагранжа невзаимодействующих точек, некоторой функции координат . Конкретный вид этой функции зависит от характера взаимодействия между частицами. Величина называется потенциальной энергией системы. С учетом сказанного, в самом общем виде, ф. Лагранжа для замкнутой системы из м.т. в декартовой системе координат будет выглядеть так:

(13)

Потенциальная энергия зависит от положения всех м.т. в один и тот же момент времени . Это означает, что изменение положения хотя бы одной из них, мгновенно отражается на всех остальных. Следовательно, в классической механике считается, что взаимодействие между телами «распространяется» мгновенно, с бесконечно большой скоростью.

Зная функцию Лагранжа, можем записать систему уравнений Лагранжа в следующем символическом векторном виде:

, (14)

Поскольку , а , то система уравнений (14) примет вид:

, (15)

Вектор

(16)

называется силой, действующей на -ю частицу, со стороны всех остальных частиц системы. Вместе с сила зависит только от координат частиц, но не от их скоростей: . Теперь система уравнений Лагранжа запишется так:

(17)

Таким образом, если в качестве обобщенных координат выбрать декартовы координаты, уравнения Лагранжа сводятся к системе уравнений второго закона Ньютона.

При решении большинства задач, оказывается удобным использовать не декартовы, а некоторые обобщенные координаты . В этом случае для написания функции. Лагранжа нужно произвести соответствующие преобразования. Прежде всего, нужно выразить все декартовы координаты точек через обобщенные координаты :

Затем нужно выразить кинетическую энергию системы через выбранные обобщенныекоординаты. Т.к.

то

Обозначим

(18)

Отсюда видно, что матрица зависит только от обобщенных координат и является симметричной матрицей. Таким образом, в обобщенных координатах кинетическая энергия системы по-прежнему является квадратичной функцией скоростей, но может зависеть и от обобщенных координат:

Теперь функцию Лагранжа запишем в виде:

(19)

Рассмотрим несколько простых примеров.

Запишем кинетическую энергию м.т. в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. При этом учтем, что независимо от выбора координат

(20)

Здесь - квадрат элемента дуги в соответствующих координатах.

1. В декартовых координатах:

(21)

2. В цилиндрических координатах: - расстояние до оси ; - азимутальный угол в плоскости .

Поэтому

(22)

Величина определяет быстроту удаления или приближения точки к оси . Величина есть угловая скорость вращения частицы относительно оси . Знак величины определяет направление вращения (если смотреть на плоскость со стороны оси ) – против часовой стрелки - знак "плюс", а по часовой стрелке – знак "минус". Наконец, величина определяет поступательную скорость движения относительно оси .