Числовые последовательности

       Числовой последовательностью называется бесконечное число занумерованных чисел  или . Задать последовательность можно формулой для , например,  и на числовой оси (рисунок 30).

Рисунок 30. Отображение чисел на числовой прямой.

       Помимо вышеуказанных способов, числа можно задать на координатной плоскости, рассмотрев график функции натуральной переменой .

       Последовательность  называется ограниченной, если можно указать  и , такие что  для всех элементов последовательности

Геометрически ограниченность последовательности означает, что все элементы находятся на отрезке  (на рисунке 30 последовательность ограничена отрезком ). В случае рассмотрения последовательности на координатной плоскости, тогда все точки графика находятся внутри полосы, ограниченной  и .

       Последовательность  называется монотонной, если выполняется одно из условий:

1.  (строго возрастает);

2.  (не убывает);

3.  (строго убывает);

4.  (не возрастает).

Число A называется пределом последовательности , если для любой  – окрестности точки A (даже для сколь угодно малой) можно указать номер N, который зависит от , начиная с которого все члены последовательности будут находится внутри этой окрестности

У последовательности не может быть более одного предела.

       Свойства конечных пределов:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. Если , тогда .