Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Последовательность называют бесконечно малой последовательностью (БМП), если ее предел равен нулю.

Последовательность имеет предел равный положительной или отрицательной бесконечности, если для любого числа m найдется номер N, зависящей от m, такой что начиная с этого номера все члены последовательности больше или меньше m

Если , тогда последовательность называется бесконечно большой последовательностью (ББП).

Если - БМП, а - ББП, тогда - ББП и - БМП соответственно. Символически предельная теорема записывается так: и . У последовательности может не быть предела, например или . Если последовательность монотонна и ограничена, тогда у нее существует предел.

Рассмотрим выражение , в котором для первых пяти членов последовательности выполняется монотонное возрастание и все элементы принадлежат отрезку . Предел данной последовательности называется вторым замечательным пределом и имеет вид

Понятие функции

Функция – отношение между элементами, при котором изменение в одном элементе влечет за собой изменение в другом. В нашем случае функция – соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Исходя из рассматриваемого определения функция представляет собой тройку объектов X, f и Y, где

1. Множество X – область задания или область определения функции;

2. Множество Y – область значений функции;

3. F – правило, по которому каждому элементу сопоставляется некоторый элемент .

Обозначенной буквой x – аргумент функции; y – частное значение функции.

Числовой функцией одной переменной с областью определения называется правило, которое каждому ставит в соответствие однозначно определенное .

График функции с областью определения D – множество всех точек вида . Рассмотрим графики элементарных функций:

1. Функция прямой . График функции прямой относительно коэффициентов k и b представлен на рисунке 31.

Рисунок 31. График прямой.

2. Квадратичная функция . Графиком данной функции является парабола, которая представлена на рисунке 32.

Рисунок 32. График квадратичной функции.

3. Степенная функция . Пример степенной функции представлен на рисунке 33.

Рисунок 33. Степенная функция .

Пример степенной функции представлен на рисунке 34.

Рисунок 34. Функция квадратного корня.

Пример степенной функции представлен на рисунке 35.

Рисунок 35. Функция обратной пропорциональности.

4. Показательная функция . График показательной функции представлен на рисунке 36.

Рисунок 36. График показательной функции.

5. Логарифмическая функция . График логарифмической функции представлен на рисунке 37.

Рисунок 37. График логарифмической функции.

6. Функции синуса , косинуса , тангенса и котангенса

. Графики соответствующих функций представлены на рисунке 38.

Рисунок 38. Графики тригонометрических функций, распложенные в порядке перечисления.

Обратная функция – функция, обращающая зависимость, вырезаемую данной функцией . Пример расположения взаимно обратных функции представлены на рисунке 39.

Рисунок 39. Взаимно обратные функции.

Свойства функций:

1. Монотонность. Функция называется монотонной, если она относится к следующим видам: возрастающая, убывающая, неубывающая или невозрастающая.

2. Периодичность. Функция имеет период t, если для всех x из области определения.

3. Ограниченность. Функция называется ограниченной на области определения или на некотором промежутке, если ее значения ограничены некоторыми константами для всех x из области определения: .

4. Четность и нечетность. Функция называется четной, если для вей области определения. Функция называется нечетной, если для всей области определения.