Логические функции и их свойства

       Основу действий с логическими функциями описал Буль. Часто логические переменные и логические функции называют булевыми. Логическая функция ставит соответствие n-мерному вектору элемент из двухэлементного множества . Обычно логическую функцию описывают таблицы истинности, где при n переменных содержится  строк. Построение таблицы истинности рассмотрено в введении в данный раздел. Логические функции представляются как логические операции в логических выражениях. Для логических операций также используют диаграммы Эйлера-Вена.

       Основными логическими функциями являются

1. Дизъюнкция  – выражение, которое принимает значение 1, если хотя бы один из переменных равен 1. Дизъюнкция – логическое сложение, обозначаемое как .

2. Конъюнкция  – выражение, которое принимает значение 1, если обе переменные равны 1. Конъюнкция – логическое умножение.

3. Логическое следствие  – принимает значение 0 только верном посыле  и неверном заключении . Логическое следствие – импликация.

4. Логическое равенство (эквивалентность)  – принимает значение 1 только при одинаковых значениях переменных.

5. Логическое неравенство (строгая дизъюнкция)  – принимает значение 1 только при различных значениях переменных.

Логические функции обладают следующими свойствами

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

Основываясь на данных свойствах логических функций, можно получить следующие соотношения

Иными словами, можно любую логическую функцию записать с применением конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, которые называют основными булевыми функциями.

       Пользуясь перечисленными свойствами и тождествами, можно упрощать запись логических функций, предварительно сведя неосновные логические функции к основным. Таким образом, можно выполнять дальнейшие действия с логическими функциями от любого числа переменных.

       Используя описанный принцип, можно составлять совестно-заданную переключательную функцию при анализе сложных высказываний и проверке логичности вывода.