Расчет по законам Кирхгофа в комплексной форме комплексов действующих значений токов всех ветвей и напряжения на зажимах источника тока без учета магнитной связи

1. Обозначим направления комплексных токов в ветвях:

Рисунок 19 – Исходная схема для расчетов в пункте 2.2

2. Переходим к схеме с комплексными параметрами, для чего рассчитаем комплексные сопротивления ветвей:

Рисунок 20 – Схема замещения с комплексными параметрами

3. Для полученной схемы составим уравнения по законам Кирхгофа, для чего проведем топологический анализ схемы. Схема содержит пять ветвей(n = 5) и четыре узла(k = 4). Следовательно, нужно составить k – 1=3 уравнения по первому закону Кирхгофа и n - (k - 1)=2 – по второму закону.

Для узлов a, b и d по первому закону Кирхгофа имеем:

Узел a) ;

Узел b) ;

Узел d) .

Для контуров acda и abda (направление обхода против часовой стрелки) по второму закону Кирхгофа составим следующие уравнения:

Контур acda) ;

Контур abda) .

Получим систему из пяти линейных уравнений. Запишем данную систему с использованием рассчитанных ранее комплексных параметров цепи:

(6)

4. Решим данную систему матричным методом:

Для этого составим соответствующие матрицы:

; ; .

Найдём комплексные значения ЭДС и J:

Внесем необходимые данные в программу, составленную в Mathcad для решения системы (6).

Рисунок 21 – Расчет системы (6) в программе Mathcad

Тогда комплексы токов равны:

А,

А.

Найдем мгновенные значения токов, общий вид которых выглядит следующим образом:

, где

– амплитуда, равная , А; – начальная фаза в градусах.

Тогда получим следующие мгновенные значения токов:

5. Найдем напряжение на зажимах источника тока. Для этого составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура bcdb (направление обхода – против часовой стрелки):

6. Проверим правильность найденных значений комплексных токов с помощью баланса активной и реактивной мощностей. Суммарная мощность источников равна:

где – комплексно сопряженные значения соответствующих токов.

Суммарная мощность потребителей складывается из активной и реактивной составляющих: .

Активная составляющая:

Реактивная составляющая:

где – модули комплексов токов.

Тогда суммарная мощность потребителей: .

Получили, что суммарная мощность, потребляемая приемниками, равна суммарной мощности, отдаваемой источниками. Следовательно, комплексы токов найдены верно.

2.3 Расчет по законам Кирхгофа в комплексной форме комплексов действующих значений токов всех ветвей и напряжения на зажимах источника тока с учетом магнитной связи

В состав электрических цепей могут входить катушки, магнитно-связанные с другими катушками. Поток одной из них пронизывает другие и наводит в них ЭДС взаимоиндукции, которые должны быть учтены при расчете.

Степень индуктивной связи элементов характеризуется коэффициентом связи:

где – взаимная индуктивность элементов цепи; – собственные индуктивности этих элементов. [6]

1. Обозначим направления комплексных токов в ветвях и согласованную магнитную связь между элементами :

Рисунок 22 - схема для расчетов в пункте 2.3

2. Переходим к схеме с комплексными параметрами, для чего рассчитаем комплексные сопротивления ветвей:

Также найдем слагаемое для магнитной связи:

Рисунок 23 - Схема замещения с комплексными параметрами

3. Аналогично действиям в пункте 2.1, составим систему уравнений по законам Кирхгофа. Для узлов a, b и c по первому закону Кирхгофа получаем аналогичные уравнения:

Узел a) ;

Узел b) ;

Узел d) .

Для контуров acda и abda (направление обхода против часовой стрелки) по второму закону Кирхгофа с учетом магнитной связи составим следующие уравнения:

Контур acda) ;