Свойства тройных интегралов

1. .

2. .

3. Если .

4. .

5. точка  такая, что выполняется равенство

, где V – объем области Т.

6. Область Т разбита на не пересекающиеся части Т₁ и Т₂, тогда

.

 

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

Пусть дан . Разобьем область Т плоскостями параллельными координатным плоскостям. В результате каждая часть разбиения будет являться параллелепипедом.

. Тогда .

Таким образом, получаем .

Область D является правильной в направлении оси z, если любая прямая параллельная этой оси пересекает границу тела не более чем 2 раза. Тело может быть правильным также в направлении оси x и оси y.

Пусть область D будет правильной в направлении оси z, т.е. всю поверхность, ограничивающую данную область можно разбить на 2 части: нижнюю z₁=f₁(x,y) и верхнюю z₂=f₂(x,y). Область D – проекция тела на плоскость xy.

 ― трехкратный интеграл.

Причем,  - называется внутренним,  - средним,  - внешним.

Замечание.

1) Если тело является правильным в направлении другой оси, то трехкратный интеграл изменится соответствующим образом.

2) Если область Т не является правильной в направлении ни одной оси, тогда область разбиваем на части таким образом, чтобы каждая часть была правильной в направлении хотя бы одной оси.

 

Пример. Вычислить тройной интеграл , где T: x=0, y=0, z=0, y=x, x+z=1.

Спроецируем тело на плоскость xz.

.

;

;

.

 

Замена переменной в тройном интеграле.

     Пусть дан .

Пусть .

Если для каждой тройки xyz существует единственное решение U,V,W, тогда справедливо равенство:

,

где  - якобиан перехода:

.