Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Пусть дан .

Пусть область Т будет правильной в направлении оси z, тогда цилиндрические координаты имеют вид:

, где .

Вычислим якобиан перехода:

.

.

Замечание.

1) Переходить к цилиндрическим координатам удобно в том случае, когда область D (проекция тела Т на координатную плоскость) связана с дугами окружности.

2) Если область D правильная в направлении оси x или y, тогда формула изменит свой вид.

Пример. Вычислить тройной интеграл , где T: x²+y²=2x, y=0, z=0, z=1.

(x-1)²+y²=1 – эллиптический цилиндр. Направляющая – окружность с центром в точке (1;0), радиус – 1, образующие параллельны оси z.

Перейдем к цилиндрическим координатам:

.

Подынтегральная функция будет иметь вид: .

Уравнение цилиндра в цилиндрических координатах: .

.

;

;

Тройной интеграл в сферических координатах.

Пусть дан .

Связь между декартовыми и сферическими координатами ():

, где .

Вычислим якобиан перехода:

.

Тогда имеет место равенство:

Замечание.

К сферическим координатам удобно переходить в том случае, если поверхности ограничивающие область Т являются сферой.

Пример. Вычислить , где T: x²+y²+z²=1, z=0, z>0.

Построим область T:

Перейдем к сферическим координатам.

Уравнение сферы в новых координатах:

.

Подынтегральная функция в сферических координатах:

.

.

 

Применение тройных интегралов.

1. Вычисление массы тела, ограниченного областью Т и имеющего переменную плотность .

.

2. Вычисление объема тела, ограниченного областью Т.

.

Пример. Найти объем тела, ограниченного областью T: (z-2)²=x²+y² – конус, z=0.

Объем тела находится по формуле: .

 Построим область T.

       

x²+y²=4 – линия пересечения конуса и плоскости xy.

Перейдем к цилиндрическим координатам:

.

Найдем уравнение конуса в цилиндрических координатах:

(z-2)²=x²+y²   (z-2)²=ρ² , - нижняя часть конуса, .

Уравнение границы области D в цилиндрических координатах: .

.

;

;

.

 

Криволинейные интегралы.