Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода

 

1) Кривая L задана параметрически:

 , причем .

t₁ – соответствует началу кривой, т. е. точке A, t₂ – концу кривой B.

Из приложений определенных интегралов .

Тогда справедливо равенство:

.

Таким образом, криволинейный интеграл 1-го рода сводится к определенному интегралу.

2) Кривая L задана в декартовых координатах:

.

Тогда выберем в качестве параметра x:

, , .

Получаем равенство:

.

Замечание.

Если кривая L задана , тогда в качестве параметра выбирается y.

, .

.

3) Кривая L задана в полярных координатах:

.

Связь между декартовыми и полярными координатами: .

Учитывая, что , получаем .

Т. е. параметром является φ. Найдем дифференциал дуги.

.

Тогда справедливо равенство:

.

Замечание.

Кривая L на плоскости может быть замкнутой, тогда криволинейный интеграл 1-го рода обозначается следующим образом: .

Пример. Вычислить криволинейный интеграл , L – контур треугольника АВО.

L: ΔABO, A(1;0), B(0;1), O(0;0).

Построим контур L.

Разобьем криволинейный интеграл на части: .

1. OA: y=0, , .

.

2. AB: x+y=1, x=1-y, .

.

3. BO: .

.

.

 

Применение криволинейного интеграла 1-го рода.

1. Вычисление массы кривой L с переменной плотностью.

.

2. Вычисление площади боковой поверхности цилиндрического тела.

, где z=f(x,y) – поверхность, ограничивающая цилиндрическое тело сверху, L ― кривая на плоскости xy, образованная цилиндрической поверхностью.

3. Вычисление длины дуги кривой AB.

.

Пример. Вычислить массу дуги окружности  (ее верхней части), если плотность в каждой точке равна у.

Плотность .

L – верхняя часть окружности .

Масса находится по формуле .

Построим контур L:

Запишем уравнение окружности параметрически:

, . .

.

Замечание.

Если кривая L задана в пространстве, то выводы все аналогичны, как и для плоского случая.

Пример. Вычислить криволинейный интеграл , L – первый виток винтовой линии.

L:  , , , т. к. берем 1 виток.

.