Задача о массе неоднородной кривой

     Пусть на плоскости xy дана кривая l с началом в точке A и с концом в точке B. Пусть в каждой точке кривой плотность определена как функция координат этой точки . Требуется найти массу данной кривой.

Всю кривую разобьем на п частей точками так, чтобы . Обозначим  - длина i -го участка разбиения. На каждом промежутке разбиения произвольным образом выберем точку . Предположим, что плотность на каждом участке разбиения постоянна и равна значению в точке . Тогда масса i -го участка . Таким образом, масса всей кривой . Данное равенство тем точнее, чем на большее число частей мы разбиваем кривую.

Замечание.

Подобные задачи возникают не только в физике, но и в геометрии. Например, задача о площади боковой поверхности цилиндрического тела.

Дадим общее определение, не связанное с физическими и геометрическими свойствами.

Определение криволинейного интеграла 1-го рода.

Пусть на плоскости xy дана некоторая область D. Пусть в этой области дана гладкая кривая, в каждой точке которой определена функция . Разобьем всю кривую произвольным образом на n частей точками  и обозначим  - длина i -го участка разбиения. На каждом участке разбиения произвольно выберем точку  и составим интегральную сумму .

Если существует конечный предел интегральной суммы, не зависящий ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек, тогда он называется криволинейным интегралом 1-го рода или криволинейным интегралом по длине дуги.