Пример выполнения задания в пакете Mathcad

Решить уравнение  методами половинного деления, хорд, касательных с точностью ε = 0,5·10^-4.

Отделение корней

Отделить корни уравнения – это значит, разбить область определения функции на промежутки, в каждом из которых находится не более одного корня.

При решении задачи об отделении корней используют следующие теоремы:

1. Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [ a; b ]  принимает на его концах значения разных знаков (т.е. f(a)·f(b)<0), то уравнение (1) имеет на этом отрезке, по меньшей мере, один корень.

2. Если функция f(x) непрерывна и монотонна на отрезке [ a; b ],  принимает на его концах значения разных знаков, то уравнение (1) имеет в интервале (a; b) единственный корень.

3. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a; b ], дифференцируема в интервале (a; b), принимает на его концах значения разных знаков и производная f′(x) сохраняет знак в интервале (a; b), то уравнение (1) имеет в интервале (a; b) единственный корень.

Этот этап решения осуществляется с помощью аналитического или графического метода. Для выделения областей, содержащих один корень, можно использовать  графический способ, либо двигаясь вдоль области определения с некоторым шагом, проверять на концах интервалов условие смены знака функции.

После того как корень, подлежащий уточнению, отделен, за начальное приближение может быть выбрана любая точка отрезка [ a; b ].

Воспользуемся графическим методом отделения корней с помощью системы Mathcad.

1. Зададим функцию f(x):

2. Построим график функции f(x). Для этого на панели инструментов Графики следует выбрать нужный тип графика  и в появившемся шаблоне заполнить поля ввода данных (темные прямоугольники): имя переменной х по оси ОХ и имя функции f(x) по оси OY, затем появятся поля ввода для указания предельных значений абсцисс и ординат, задающие масштаб изображения (если оставить эти шаблоны незаполненными, то масштабы по осям будут устанавливаться автоматически). Для построения графика достаточно вывести курсор за пределы шаблона и щелкнуть левой кнопкой мыши.

График функции пересекает ось ОХ в точке из отрезка [0; 1]. Найдем значение функции на концах этого отрезка:

Следовательно, на данном отрезке действительно существует корень уравнения.