Пример решения уравнений методом простой итерации в пакете Mathcad

Решить уравнение   е^х ∙ (2 – х) – 0,5 = 0 методом простой итерации с точностью ε = 0,5 · 10^-4.

1. Отделяем корни уравнения графическим методом с точностью до 0,1. Для данного уравнения корень отделен на отрезке [1,5; 2,5]

 

2. Приводим исходное уравнение к виду х = φ(х). Для этого заменим уравнение исходное уравнение уравнением вида х = x – m · f(x). Здесь величина m должна быть подобрана так, чтобы для функции φ(х) выполнились условия 2 и 3 теоремы о достаточном условии сходимости итерационного процесса.

Теорема: Пусть уравнение х = φ(х) имеет единственный корень на отрезке [ a; b ] и выполняются условия:

1)  φ(х) определена и дифференцируема на отрезке [ a; b ];

2) φ(х)  [ a; b ] для всех х  [ a; b ];

3) существует такое число q, что   для всех х  [ a; b ]. Тогда итерационная последовательность x_n = φ (x_{n- 1}) (n = 1, 2,…) сходится при любом начальном приближении x₀.

 

Производная f′(x) на отрезке [1,5; 2,5] отрицательна, следовательно, на этом отрезке функция f(x) монотонно убывает, ее значения представлены на рисунке:

Тогда значения функции φ(х) будут равны: φ (1,5)=1,5 – m ·1,74084; φ (2,5) = 2,5 – m ·(-6,59125)

Учитывая монотонность функции φ(х), из последних равенств легко заметить, что условие 2 теоремы будет выполняться, если m – правильная отрицательная дробь.

 

Найдем производную f′(x) на отрезке [1,5; 2,5].

 

Модуль производной имеет максимум в точке 2,5. Тогда если за m принять число , то для любого х из отрезка [1,5; 2,5] значение выражения будет правильной отрицательной дробью. Это обеспечит выполнение условия 2 теоремы:

Для выполнения условия 3 теоремы найдем производную преобразованной функции и ее значения на концах отрезка [1,5; 2,5]:

  

  

 

Условие 3 теоремы выполнено: значения производных меньше единицы. Выберем число q как наибольшее значение производной:

 

 

3. Вычисляем значения итерационной последовательности x_n = φ (x_{n- 1}). В качестве начального приближения возьмем, например, начало отрезка, точку х₀ = 1,5.

 

Критерий достижения заданной точности находится следующим образом:

4. Строим итерационную последовательность:

 

 

Для 26-го приближения получили, что .

Отсюда следует, что х₂₅ = 1,9272 является приближенным решением заданного уравнения с точностью ε = 0,5 · 10^-4.