Неравенства и системы неравенств

Уравнением с одной переменной называется равенство, содержащее эту переменную (ее иногда называют неизвестной).

Значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство, называют корнем (или решением) уравнения.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Корни, не удовлетворяющие исходному уравнению, называют посторонними корнями уравнения и не являются решениями этого уравнения.

К появлению посторонних корней могут привести следующие преобразования: возведение в четную степень обеих частей уравнения, умножение обеих частей уравнения на алгебраическое выражение, содержащее переменную и др. Чтобы отбросить посторонние корни, необходимо на каждом этапе решения уравнения определять промежутки, в которых могут находиться корни уравнения (области допустимых значений ОДЗ).

Если уравнение имеет вид

f (x) h (x) = g (x) h (x),

то деление обеих его частей на корней.

h (x)

недопустимо, поскольку может привести к потере

Уравнение не считается решенным в двух случаях: 1)когда ответ содержит

посторонние корни; 2) когда в процессе решения был потерян хотя бы один корень.

Основные типы алгебраических уравнений (в школьном курсе математики):

– линейное уравнение:

ax + b = 0; решение:

ax 2 + bx + c = 0

x = - b;

= - b ±

b 2 - 4 ac

– квадратное уравнение:

; решения:

x 1, 2 2 a ;

–

f (x)

иррациональное уравнение содержит выражение вида

Примеры: линейное уравнение 3 x + 6 = 0; решение 3 x = -6,

квадратное уравнение: x 2 + 5 x - 6 = 0;

x = -2;

решение

x 1, 2 =

- 5 ±

52 - 4 ×1× (-6)

2 ×1

= - 5 ±

25 + 24

= - 5 ± 7

корни: x

= - - 5 + 7 = 1

x = - - 5 - 7 = - 12 = -6;

1 2 21 2 2

х - 3

иррациональное уравнение:

= 2,

возведем обе части уравнения в степень корня, в данном случае, во вторую – получим

( х - 3)2 = 22 применим свойство степени, тогда х - 3 = 4, теперь найдем решение

х = 4 + 3 = 7.

Система алгебраических уравнений – совокупность двух (или более) алгебраических уравнений:

ì f ₁(x, y) = 0,

î 2

í (x, y) = 0.

Пара (x 0 , y 0 )

является решением системы, если (x 0 , y 0 )

каждое уравнение системы

обращает в тождество. Основные методы решения: метод подстановки, метод алгебраического сложения.

ì2 х + 3 у = 17,

Пример: í х - 2 у = -2., применим метод подстановки, выразим из второго уравнения

ì2 х + 3 у = 17, ì2(2 у - 2) + 3 у = 17,

переменную х

í х = 2 у - 2.

и подставим в первое уравнение í

х = 2 у - 2.

затем найдем из первого уравнения значение переменной у:

у = 3, вернемся ко второму уравнению -

4 у - 4 + 3 у =17,

7 у = 21,

Таким образом, решением заданной системы является пара значений (4,3).

Алгебраические неравенства имеют следующий вид:

f (x) > g (x),

f (x) < g (x),

f (x) ³ g (x),

f (x) £ g (x).

Решение неравенства – множество всех значений х, которые удовлетворяют исходному неравенству, то есть исходное неравенство становится верным числовым неравенством. Основной метод решения – метод интервалов.

Алгоритм метода интервалов состоит из 5 шагов

1. Записать вместо неравенства и решить уравнение f (x) = 0;

2. Отметить все полученные корни на координатной прямой;

3. Найти знак (плюс или минус) функции f (x) в правом интервале;

4. Отметить знаки на остальных интервалах;

5. Выбрать интервал по исходному условию неравенства.

Пример:

x 2 - 2 x - 3 > 0. Уравнение

x 2 - 2 x - 3 = 0

x 1,2

= 1± 2; корни уравнения

x 1 = 3 x 2 = -1. Отметим значения корней на числовой прямой и определим знак

неравенства при значении больше 3, пусть х=4. Исходное неравенство 42 - 2 × 4 - 3 > 0,

16 -11 > 0, получили 5>0. Значит, в правом крайнем интервале неравенство имеет положительный знак. Так как среди корней нет кратных, то знаки интервалов будут чередоваться (см.рис).