Определение основных тригонометрических функций

sin A = a

cos A = b

tgA = sin A =  a

ctgA = cos A = b

c            c        cos A b          sin A a

Основные формулы тригонометрии:

sin² x + cos² x = 1

sin 2 x = 2sin x cos x, cos 2 x = cos² x -sin² x

cos2 x =  1+ cos 2 x, sin2 x =  1- cos 2 x

2                       2

ç 2

Некоторые формулы приведения углов к первой четверти

ç 2

sinæ  p

è

- a ö = cos a

÷

ø

sinæ  p

è

+ a ö = cos a

÷

ø

sin(p  - a ) = sin a   sin(p + a) = -sin a

Решения простейших тригонометрических уравнений.

 

· sin x = a;

x = (-1) n   arcsin a + pn,

n Î Z

 

при

a £ 1.

Замечание. Если

a > 1, то уравнение решений не имеет.

 

· cos x = a;

x = ±arccos a + 2 pn,

n Î Z

при

a £ 1.

Замечание. Если

a > 1, то уравнение решений не имеет.

· tg (x) =  a;

· ctg  (x) =  a;

x = arctg (a)+ pn,

x = arcctg (a)+ pn,

n Π Z.

n Π Z.

Остальные тригонометрические уравнения сводятся к простейшим путем алгебраических и тригонометрических преобразований.

 

Преобразование логарифмических выражений.

Определение логарифма log a b = c,

ac   = b

(a > 0, a ¹ 1, b > 0,)

Основное свойство логарифма:

a log a  x   =  x

Для всех (a > 0, a ¹ 1, x > 0, y > 0)

справедливы равенства

Ø log  a  xy  = log  a  x + log  a  y,

Ø log a

x = log

y     a

x - log a  y,

 

Ø

a

log xp

= p log a  x _,

Ø log  a 1 = 0,

log ap  =  p,

Ø

a

aq

log

x = 1 log x

q  a

(q ¹ 0)_,

 

Ø log

x = log b x

(b > 0, b ¹ 1),

b

a             log   a

1

Ø

b

log a b = log   a.

 

Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

Решения простейших логарифмических уравнений имеют вид:

log a x = a (a > 0, a ¹ 1, x > 0) Û x = a.

a

Если a > 0, a ¹ 1, b > 0, то ax   = b Û

x = log a b.

 

Если a > 0, a ¹ 1, b £ 0, то уравнение ax  = b

решений не имеет.

 

Простейшее логарифмическое неравенство

log a x < log a b.

Если 0 < a < 1, b > 0, то x > b.            Если a > 1, b > 0, то 0 < x < b.

 

Таким образом, при избавлении в неравенстве от логарифма с основанием, меньшим единицы, знак неравенства меняется на противоположный.

Решение показательных неравенств базируется на правилах действий со степенями.

Простейшие показательные неравенства имеют вид: ax < aa .

Если 0 < a < 1,  то x > a. Если a > 1,  то x < a,  то  есть для выражений с

основанием, меньшим единицы, знак неравенства меняется на противоположный.

Замечание. При решении логарифмических уравнений и неравенств необходимо находить область допустимых значений неизвестного (ОДЗ) и следить, чтобы окончательное решение ему удовлетворяло.