Планирование испытаний для нормального закона

Одной из задач надёжности является планирование испытаний методом последовательного анализа при двух заданных уровнях показателя надёжности для нормального закона распределения наработки на отказ [11, 14, 15]. В этом случае средний объем испытаний методом последовательного анализа c двухсторонней доверительной границей для подтверждения наработки на отказ T ₀, подчинённой нормальному закону, в интервале T ₁ ≤ T ≤ T ₀ определяют из соотношения:

;

(4.1)

где  – математическое ожидание случайной величины из последовательности наблюдений M, при которых параметр T принимает значение T ₀ или T ₁.

При планировании испытаний восстанавливаемых изделий обычно предполагают, что ошибка первого рода (т.е. риск поставщика или ложная тревога) равна нулю (α= 0), тогда выражение (4.1) преобразуется к виду:

.

(4.2)

Для подтверждения наработки на отказ T ₁ средний объем испытаний находится по формуле

.

(4.3)

Найдём математическое ожидание логарифма отношения значений функций плотности распределения f (t, T, σ) наработки на отказ при T = T ₁ и T = T ₀.

Математическое ожидание логарифма отношения правдоподобия при условии σ ₁= σ ₂= σ и плотности распределения, представленного нормальным законом

,

(4.4)

в виде

(4.5)

можно записать в следующем виде

(4.6)

Выражение (4.6) получено в предположении, что, преобразуя (4.5), получим соотношение

,

(4.7)

которое можно записать в виде

,

(4.8)

если принять допущение, что каждый период испытаний по времени одинаков, т.е. t_i = t.

Подставляя полученное выражение в формулу (4.2), можно определить выражение для среднего объёма испытаний, если риск поставщика равен нулю:

.

(4.9)

В общем случае средний объем испытаний для подтверждения средней наработки на отказ T ₀ получим, подставляя (4.6) в (4.1):

,

(4.10)

где n ₀ – число периодов работы длительностью T ₀ каждый или число отказов за время S испытаний, которое равно:

;

(4.11)

Средний объем испытаний для подтверждения средней наработки на отказ T ₁ можно определить по формуле:

.

(4.12)

На основании выражения (4.8) для логарифма отношения правдоподобия можно записать условия принятия и отклонения гипотезы H ₀ состоящей в том, что при превышении в текущем испытании T = T ₀:

отклонение гипотезы H ₀

;

(4.13)

принятие гипотезы H ₁

.

(4.14)

Так как в процессе испытаний фиксируют число отказов m, то условия принятия и отклонения гипотезы H ₀ можно представить в виде неравенств:

;	(4.15)
;	(4.16)

Пример

Задача. Построить линию приёмки и линию браковки для нормального закона распределения наработки на отказ при следующих исходных данных: T ₀= 100 ч; σ =10 ч; α = β =0,1 [11, 14].

Определить уравнения линий приёмки и браковки, построить их графики, найти средний объем испытаний.

Решение. Для построения линий приёмки m_ПР и браковки m_БР (рис. 4.1) воспользуемся формулами (4.15) и (4.16) при некоторых значениях T ₀/ T ₁.

Рис. 4.1. Графики линий приёмки (––) и браковки (- - -) для нормального закона при T ₀= 100 ч; σ =10 ч; α = β =0,1

 

Средний объем испытаний для подтверждения средней наработки на отказ T ₀ оценим количеством испытаний по формуле (4.10) (рис. 4. 2)

Для подтверждения наработки на отказ T ₁ средний объем испытаний оценим количеством испытаний по формуле (4.12) (рис. 4.2).

 

Рис. 4.2. Зависимость количества циклов испытаний от текущей наработки на отказ T ₁

Контрольные вопросы

1. Поясните процедуру получения математического ожидания случайной величины из последовательности наблюдений M, при которых параметр T принимает значение T ₀ или T ₁.

2. Поясните вывод формулы для математического ожидания случайной величины при одинаковых величинах дисперсии.

3. Поясните вывод формулы для математического ожидания случайной величины при различных величинах дисперсии.