Связь границ принятия решения с вероятностями ошибок первого и второго рода

Ошибка, относящаяся к диагнозу D ₁ (принимается решение о наличии диагноза D ₂, когда в действительности объект принадлежит диагнозу D ₁), называется ошибкой первого рода. Ошибка, относящаяся к диагнозу D ₂ (принимается решение в пользу диагноза D ₁ когда справедлив диагноз D ₂), называется ошибкой второго рода.

Считая состояние D ₁ исправным, а состояние D ₂ дефектным, легко понять, что ошибка первого рода является «ложной тревогой», а ошибка второго рода «пропуском дефекта» или «пропуском цели».

Обозначим вероятность ошибки первого рода α, второго рода β. Допустим, что имеются условия и принимается решение в пользу диагноза D ₂. Вероятность того, что это решение будет справедливым, равна (1- β). Вероятность принадлежности объекта с данной реализацией признаков к диагнозу D ₁ составляет α. С другой стороны, в силу соотношения (2.10) вероятность диагноза D ₂, по крайней мере, в А раз больше, чем диагноза D ₁ т.е.

.

(2.12)

Подобным образом можно получить и следующую оценку:

.

(2.13)

Таким образом, границы рассчитывают, исходя из вероятностей ошибок первого α и второго β рода, которые считаются заданными.

В практических расчётах можно принимать α=β= 0,05 … 0,1.

Для упрощения вычислений отношений правдоподобия формулы (2.12), (2.13) представляют в виде логарифмов отношений (2.5), (2.6), (2.7) и тогда условия принятия гипотез записывают следующим образом:

принятие гипотезы H ₁

;

(2.14)

отклонение гипотезы H ₀

.

(2.15)

Условие продолжения испытаний:

.

(2.16)

Пример

Задача. Диагностика механизма осуществляется по температуре подшипниковых узлов. Установлено, что для исправного состояния среднее значение x ₀подшипникового узла составляет =50°C и среднее квадратичное отклонение σ ₁=15°C. При наличии повышенного износа, где =100°C, σ ₂=25°C, распределения предполагаются нормальными. Оценить объём испытаний.

В результате измерений получены следующие данные: х ₁=75 ^оC, х ₂=70°C, х ₃=75°C, х ₄=80°C, х ₅=75°C, х ₆=80°C, х ₇=85°C. Примем α=β= 0,05.

Решение. Определим границы принятия решений:

,

.

Критерий правдоподобия для нормального закона распределения одного измерения получаем из соотношения:

.

И затем после каждого n -ого измерения вычисляем логарифм отношения:

.

Если логарифм отношения L лежит в пределах , то для постановки диагноза информации не хватает.

В результате расчётов получим следующие данные: L ₁=–0,454; L ₂=–0,54; L ₃=–0,994; L ₄=–1,583; L ₅=–2,307; L ₆=–3,165; L ₇=–4,463 и представим их на рис. 2.1. Таким образом, на шестом шаге превышена нижняя граница («изделие не принимают»), что означает – для постановки диагноза «температура превышена» достаточно шести измерений.

 

Рис. 2.1. Пересечение нижней границы при проведении последовательного анализа – изделие не принято на шестом измерении

 

Предположим, что в результате измерений получены следующие данные: х ₁=54^оC, х ₂=64°C, х ₃=57°C, х ₄=66°C, х ₅=73°C, х ₆=54°C, х ₇=75°C, х ₈=69°C, х ₉=63°C, х ₁₀=52°C. Примем α=β= 0,05. В результате расчётов получены следующие данные: L ₁=0,847; L ₂=1,154; L ₃=1,854; L ₄=2,035; L ₅=1,733; L ₆=2,579; L ₇=2,125; L ₈=2,108; L ₉=2,476; L ₁₀=3,413 и представим их на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Пересечение верхней границы при проведении последовательного анализа – изделие принято на десятом измерении

 

На десятом шаге измерений превышена верхняя граница («изделие принимают»), что означает – для постановки диагноза «температура не превышена» достаточно десяти измерений. Следует заметить, что в данном случае разброс измеренных величин температуры достаточно велик.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение методу последовательного анализа.

2. Поясните критерий отношения правдоподобия.

3. В чем состоит связь границ принятия решения с вероятностями ошибок первого и второго рода?

4. Поясните понятие «нулевая гипотеза».

5. Поясните понятие «конкурирующая гипотеза».

6. Что такое «риск поставщика»?

7. Поясните понятие «риск заказчика».