Методи експоненціювання при фіксованій точці

Фіксованою точкою в криптосистемі завжди є генератор або базова точка криптосистеми порядку . Такі точки - це відкриті ключі користувачів. Якщо в системі є резерв пам'яті, його можна використати для зберігання заздалегідь розрахованих точок. Наприклад, якщо обчислити й записати в пам'яті точки , то для визначення скалярного добутку залишиться лише обчислити суми точок відповідно до двійкового подання . У середньому для цього буде потрібно лише операцій. Їхнє число можна зменшити до операцій додавання й віднімання, якщо скористатися трійковим поданням .

Другим досить витонченим підходом є підхід на основі вікон з фіксованою базою. Замість двійкового подання числа використовується -е із передобчислюванням точок . Дійсно, нехай -е подання числа має вигляд

Тоді

де

Ці обчислення здійснюються за допомогою наступного алгоритму.

Алгоритм 6.

Вхід: ширина вікна , ,

Вихід:

1. Передрозрахунки:

3.1

3.2

Середня обчислювальна складність алгоритму оцінюється кількістю додавань:

Метод вікон у цьому випадку більше продуктивний, ніж при невідомій точці, тому що передрозрахунки не входять в алгоритм експоненціювання. Якщо використати поряд з додаванням подвоєння точки, реалізувати алгоритм можна інакше. Два вікна точки шириною кожне можна подати у вигляді:

;

Всі можливі точки й обчислюються на етапі передрозрахунків і записуються на згадку. Загальна кількість цих точок зростає експоненційно зі збільшенням ширини вікна . Двійкове подання точки розбивається далі на фрагментів шириною . У кожному такому фрагменті відбираються старші розряди й розряди зі зрушенням вправо на (тобто на половину фрагмента).

Їхні двійкові подання дають першу пару точок й , які складаються, після чого їхня сума подвоюється.

Далі реалізується алгоритм послідовних додавань і подвоєнь праворуч із двома вікнами, описаний нижче.

Алгоритм 7.

Вхід: ширина вікна , , ,

Вихід:

1. Передрозрахунки: обчислити всі точки й

2. Подати число у вигляді конкатенації фрагментів шириною

Нехай означає й біт фрагмента

4.1

4.2

Обчислювальна складність цього алгоритму оцінюється числом групових операцій

Обмінюючи час обчислень на пам'ять, можна й далі підвищувати продуктивність експоненціювання точки кривої. Наприклад, для кожного вікна шириною можна заздалегідь розрахувати точок, при цьому на згадку рийдеться записати точок. Операція подвоєння в цьому випадку не використовується, а складність оцінюється числом додавань. Цей алгоритм назвемо алгоритмом максимальної пам'яті. У табл.13.1 дані для порівняння величини пам'яті й тимчасової складності (числа групових операцій) алгоритму 6 й алгоритму максимальної пам'яті при . В обох випадках зі збільшенням ширини вікна збільшується пам'ять і знижується число групових операцій. Очевидно, що останній алгоритм за наявності більших резервів пам'яті дозволяє істотно прискорити операцію експоненціювання фіксованої точки

Таблиця 1 - Об'єм пам'яті й тимчасова складність (число групових операцій) алгоритму 6 й алгоритму максимальної пам'яті при

Метод	W = 3		W = 4		W = 5		W = 6
	M	S	M	S	M	S	M	S
Алгоритм 6	14	900	30	725	62	632	126	529
Алгоритм максимальної пам'яті.	469	58	750	46	1280	38	2079	33