Самоподобные множества

Понятие фрактал было введено Бенуа Мандельбротом в 1975 г. Этот неологизм, происходящий от латинского слова fractus, обозначил широкий класс естественных и искусственных топологических форм. Главной особенностью этого класса является самоподобная иерархическая организационная структура. Самоподобие подразумевает, что внешняя — наблюдаемая форма изучаемого объекта или явления, представленная в графическом виде, включает в себя большое количество копий, исполненных по одному и тому же замыслу. Такие копии могут быть последовательно обнаружены в любой точке фрактальной кривой или поверхности при уменьшении масштаба представления. Геометрические модели фракталов часто ассоциируются с утонченным узором, проявляя удивительную изощренность в построении простых и сложных объектов. Простейший математический прототип фрактала — непрерывная, но бесконечно изрезанная линия, заданная некоторой функцией, не имеющая ни в одной точке производной. Долгое время было принято считать, что такие функции существуют только в области математики, а реальные объекты не обладают подобной формой. Однако вторая половина 19 столетия коренным образом изменила это представление. “Условные математические структуры” вдруг проявились в обычных объектах природы. Сегодня хорошо известно, что к фрактальным структурам, бесспорно, относятся листья деревьев, крона дерева, расположение кровеносных сосудов в поверхностных слоях тела человека, форма биологических сигналов, регистрируемых с поверхности тела человека. Расширение наших представлений об этих уникальных структурах стало возможным благодаря современным разработкам в области математики.

Фрактальной топологией могут обладать объекты, находящиеся как в обычном геометрическом, так и функциональном пространстве. Такое представление оказывается чрезвычайно важным, когда рассматривается некоторое состояние системы, например, биологической. Понятно, что в первом случае исследуются фрактальные поверхности и контуры, а во втором — фрактальные распределения фазовых точек и траекторий, характеризующих функциональное состояние системы. Для биологических систем оказывается полезным исследование фрактальных свойств временных реализаций, которые могут быть представлены различными данными, полученными в результате физиологических исследований.

Самоподобие — основное свойство фрактала, которое может быть обнаружено или смоделировано на основе детерминированного или статистического математического подхода. Несмотря на разнообразие встречающихся форм фрактальных структур, все они обладают общей количественной мерой — фрактальной размерностью. Этот параметр D характеризует скорость увеличения элемента фрактала с увеличением интервала масштаба и, как правило, имеет дробное значение.

При исследовании функционального состояния организма часто используют различные аппаратные методы, позволяющие отобразить временной характер изменения некоторого информационного параметра. Формально получается некоторая графическая запись исследуемого сигнала, которая может быть представлена как в графической форме, так и в виде цифровой последовательности, отражающей временные изменения некоторого параметра. Изучение таких биометрических данных с позиции фрактального подхода представляет значительный интерес. Наиболее привлекательным в этом направлении для исследователей живых систем становится тот факт, что изучение сложных процессов может быть произведено с помощью простых моделей на известных канонических принципах биометрии.

На практике определение величины D сводится к построению зависимости длины S линии сигнала как функции масштаба m представления кривой.

ln S = D ln m + const.
(2.1)

Соответствующее преобразование этого выражения позволяет получить: S = m^D .

Фрактальная размерность пространства может быть определена с помощью кубической размерности (box dimension). Пусть A — некоторое компактное множество и N (r) есть минимальное число шаров радиуса r, покрывающих A. Если существует предел lim (log N (r)/ log (1/ r)), при r, стремящемся к нулю, то этот предел называется кубической размерностью множества A.

Топологическая размерность пространства принимает исключительно целые значения, согласуется с интуитивным представлением о размерности множества. Так, размерность одноточечного множества равна нулю, отрезка и прямой — единице, а размерность n -мерного куба равна n. Более строго это понятие может быть представлено следующим образом:

• Топологическая размерность множества A равна нулю, если для любой точки множества A найдется сколь угодно малая окрестность, граница которой не пересекается с A.
• Топологическая размерность A равна n, если для любой точки этого множества найдется сколь угодно малая окрестность, граница которой пересекается с A по множеству размерности n –1, и кроме того n есть наименьшее положительное число, для которого это условие выполнено.

Строгое определение самоподобных множеств было дано Дж. Хатчинсоном в его классической работе 1981 г. Множество F Хатчинсон назвал самоподобным, если оно состоит из нескольких компонент, подобных F (т. е. компонент, получаемых поворотом, сжатием и возможно отражением множества F).

Теорема: Если S ₁,.., S_N — набор сжимающих отображений полного метрического пространства X на себя, то найдется единственное замкнутое множество F, такое, что F = S ₁(F) U... U S_N (F). Более того, множество F компактно.

Множество F из теоремы называют инвариантным множеством или IFS-системой (Iterated Function System) и обозначают F = IFS (X; S ₁,..., S_N).
В качестве пространства X обычно рассматривают евклидово n -мерное пространство Eⁿ. Если все отображения S_i являются аффинными сжатиями, то соответствующее инвариантное множество называют самоаффинным. Самоподобные и самоаффинные фракталы строят простым и быстрым алгоритмом итераций отображений подобия.

Рис. 2.7. Схема иерархической системы

Несмотря на различия биологических систем, особенностей функционального развития, биохимических процессов, развития сенсорных систем все они построены по одному принципу (рис. 2.7). Образно говоря, это “стратегия построения простого и сложного объекта”. Первый — простейший уровень — представлен элементарной клеткой. Группа однотипных клеток образует ткань. Биологические ткани создают внутренние подсистемы организма.

В Природе такой принцип построения живых систем наиболее развит. Создавая простейшие конструкции — клетки, организм обеспечивает возможность быстро обновлять необходимые элементы, встраивая их в более сложные структурные построения.

Принцип иерархического воспроизведения информационных потоков легко прослеживается не только на клеточном уровне, но и в целом ряде биомедицинских исследований. Масштаб таких потоков на клеточном уровне и целостного организма, безусловно, разный, но основные закономерности проявляются постоянно на всем протяжении жизни. Причина всеобщности иерархического принципа организации сложных систем, с точки зрения кибернетики, очевидна. Создание простейших элементов требует меньших энергетических и информационных затрат. Включение простейших элементов в состав более сложных структур повышает надежность системы благодаря многократному дублированию. Однако включение простых элементов в состав сложных структур происходит по индивидуальному плану. Эта особенность в первую очередь связана с функциональным предназначением каждой вновь создаваемой системой. Например, построение мышц в разных частях тела человека осуществляется с учетом анатомических особенностей расположения мышечной ткани и функциональными нагрузками, которые исполняет организм в процессе жизнедеятельности.

Целый ряд структур различного масштаба обнаружен в строении сухожилия, состоящего из полимерных образований. Иерархия структурных единиц в нем начинается с молекул тропоколлагена — тройной спирали полимерных протеиновых цепей. Затем она достраивается посредством последующего формирования микрофибрилл, субфибрилл, фибрилл и, наконец, пучков, образующих само сухожилие (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Иерархия структурных единиц в сухожилии

Самоподобие и фрактальные структуры — близкие понятия. Фрактал — это структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Фрактальная структура отождествляется как с реальным объектом Природы, так и виртуальными данными, например, с графическим образом некоторого электрического сигнала, полученного в процессе исследования живого организма. Вырезав небольшую часть из структуры, имеющей свойства фрактальности, мы можем рассмотреть ее в некотором увеличении и обнаружить, что она подобна всей структуре в целом. Вырезав еще более мелкую часть из уже вырезанной части и увеличив ее, мы обнаружим, что и она подобна первоначальной структуре. Если рассматривать идеальную фрактальную структуру, такую операцию мы можем проделывать до бесконечности, и даже самые микроскопические частички будут подобны структуре в целом. Реальные объекты имеют довольно четко ограниченный интервал масштабов, в которых они проявляют свою фрактальную природу.

Распространенность фрактальных структур в природе невообразима. Фрактальны пористые минералы и горные породы; расположение ветвей, узоры листьев, капиллярная система растений; кровеносная, нервная, лимфатическая и др. системы в организмах животных и человека; реки, облака, линия морского побережья, горный рельеф и многое другое. Мало того, фрактальны практически все поверхности твердых тел.

Свойство частей быть подобными всей структуре в целом называют самоподобием. Интервал самоподобия различных природных объектов может содержать масштабы от долей микрометра при рассмотрении структуры пористых горных пород и сплавов металлов до десятков километров при рассмотрении рельефа местности и формы облаков. В качестве примеров естественных (природных) фракталов можно привести деревья, облака, реку и разветвленную сеть ее притоков, систему кровообращения человека, “морозные” узоры на стекле. Самоподобие предполагает, что копирование и масштабирование некоторого “эталонного” образа позволяет природе легко создавать сложную многомасштабную структуру.

Интуитивно можно констатировать, что свойства природных фрактальных объектов чрезвычайно разнообразны и сложны, в силу чего для их исследования используются модельные фракталы, сгенерированные по специальным алгоритмам. Такие искусственные фрактальные объекты носят название “ регулярные фракталы ”.

Количественной характеристикой фрактала является фрактальная размерность. Рассмотрим типовые задачи определения фрактальной размерности.

Положим, требуется подсчитать длину ломаной линии, полученной преобразованием отрезка единичной длины (рис. 2.9). Алгоритм преобразования следующий:

• отрезок единичной длины (рис. 2.9,а) делится на 3 части, средняя часть отрезка отбрасывается и заменяется ломаной, состоящей из 2 отрезков длины 1/3 (рис. 2.9,б);
• каждый прямой отрезок полученной ломаной преобразуется согласно п. 1, и мы получаем более изощренную ломаную линию, показанную на рис. 2.9,в;

п. 1 и 2 повторяются до исчерпания технических возможностей чертежного приспособления (рис. 2.9,д). Если продолжить этот процесс до бесконечности, мы получим линию, называемую кривой Кох. Поскольку на каждом шаге мы разбивали каждый отрезок на три части, точнее она называется триадой кривой Кох. Ведь каждый отрезок можно разбивать и на большее количество частей.

На первом шаге алгоритма длина отрезка а составляет 1/3 от первоначальной. Тогда длина кривой Кох вычисляется просто:

L=4·1/3=4/3=1,33
(2.2)

На втором шаге алгоритма определяется длина элементарного отрезка — а =1/9, а длина кривой:

L=16·1/9=1,777
(2.3)

На третьем шаге алгоритма определяется — а =1/27

L=64·1/27=2,370370
(2.4)

Эту процедуру можно продолжить. Можно заметить, что с увеличением n длина элементарного отрезка а ~ 0, а длина кривой L стремится к бесконечности:

L= (4/3) ⁿ,
(2.5)

a = (1/3) ⁿ,
(2.6)

где n = 1,2,3.

Определим n из (2.6), получим: . Подставляя n в (2.5), получим:

L=exp(n *ln(4/3))=exp·(ln(4/3)/ln3)*ln(1/ a)
(2.7)

Обозначив D = ln 4/ln 3, получаем

L= a *(1/ a)D-1.
(2.8)

Из последнего соотношения видно, что постоянным показателем остается только величина D, поскольку она не зависит от масштаба измерения и является характеристикой данной линии “кривая Кох”. Она называется фрактальной размерностью. С геометрической точки зрения фрактальная размерность является показателем того, на сколько плотно эта линия заполняет плоскость или пространство. Аналогичным образом можно рассчитать фрактальную размерность других регулярных фракталов, например, плоского регулярного фрактала — салфетки Серпинского (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Этапы построения плоского регулятора фрактала - салфетки Серпинского

Кривую Кох можно растянуть в прямую линию, поэтому ее топологическая размерность равна единице. Фрактальная размерность кривой Кох D = ln4/ln3 >> 1,263 больше топологической размерности.

Таким образом, кривая является структурой, отличной от линии, но еще не ставшей плоскостью.

Похожий алгоритм используется для построения салфетки Серпинского (рис. 2.10). Здесь из середины плоского треугольника вырезается треугольник с длиной стороны, равной половине длины стороны исходного треугольника. Фрактальная размерность этого построения лежит между 1 и 2.

Организм человека очень сложная природная система. Иерархические связи внутренних подсистем обеспечивают существование организма в окружающем мире. Взаимодействие сопряженных внутренних структур организма происходит на разных пространственно-временных уровнях. Нередко такие структуры обладают похожей топологией, имеют мало различимые по форме и частотному спектру биопотенциалы. Такие характеристики внутренних подсистем могут в полной мере служить основой для применения фрактального подхода к анализу функционального состояния организма.

Особенно отчетливо фрактальные свойства выражены в топологии кровеносной системы. Сеть артерий, вен и капилляров в различных участках тела человека хорошо описывается фрактальными алгоритмами. Иерархическая сеть бронхов, лимфатических сосудов и желчных протоков при рентгеновском статическом исследовании выглядит практически одинаковой у любого человека. Анализ такой сети с помощью фрактального алгоритма, обеспечивающего учет индивидуальных архитектурных построений в живом организме, позволяет выявить различия, которые распределены вблизи коэффициента топологической размерности 2,7. Образно говоря, архитектура сосудов почти трехмерна. Это очень показательный расчет, который позволяет не только установить топологические особенности одной из внутренних подсистем организма, но и зафиксировать топологическую близость таких систем у разных организмов. Надо отметить, что детальное рассмотрение этого вопроса с учетом возраста исследуемых организмов также дает существенное отклонение от указанного значения.

Хорошо развитая архитектура сосудов легких очень похожа на крону дерева. Почти такая же архитектура у бронхов, на первый взгляд хаотично пронизывающих легкие.

Сегодня существует большое количество научных публикаций по теме фрактального исследования различных структур организма и анализа биологических сигналов с помощью фрактального подхода. Интересные результаты получены при исследовании топологии сосудов сетчатки глаза. Установлено, что фрактальная размерность этих сосудов составляет 1,7.

Особый интерес представляет направление исследований топологии кровеносных сосудов и капилляров, а также динамика работы сердца. Полученные результаты свидетельствуют о возможности построения прогнозов работы нейронных центров, управляющих деятельностью сердца при различных поражениях организма, носящих как кратковременный характер, так и являющихся предвестниками серьезных нарушений.

В строении нервной системы фрактальность прослеживается как на макроскопическом уровне, в частности, в структуре нейронных сетей, так и в структуре нейронов. Разрабатываются и исследуются нейронные модели по аналогии с естественными каналами связи, которые должны обеспечить более полное изучение процессов организации информационных потоков внутри организма.

Высокое значение мембран в клеточных структурах, на поверхности которых порождаются информационные потоки, сопряженные со специфическими химическими процессами, активно изучаются. И здесь фрактальный подход к изучению сложных процессов обмена способствует формированию новых представлений о действии лекарственных препаратов. Введение понятия о фрактальных ответвлениях, подобно ветвям дерева, позволяет определить интенсивность клеточного обмена веществ и значение токсического действия некоторых веществ. Сегодня обнаружена возможность построения оценки фрактальной размерности, уровень которой характеризует наличие или отсутствие онкологического заболевания.

Пульсометрический анализ данных, выполненный с использованием фрактального подхода, позволяет оценить психофизиологическое состояние организма, степень развития кровеносной системы, напряженность работы сердца и целый ряд других параметров.

Электрическая запись многих биологических ритмов характеризуется притягивающим множеством или иначе “странным аттрактором”, сигнализирующим о присутствии в вариациях физиологических показателей динамического хаоса. На практике обнаружено, что “странный аттрактор” обладает фрактальной структурой с дробной размерностью. Распознавание хаоса на фоне статистических флюктуаций в экспериментально полученных данных является непростой задачей. В качестве критерия присутствия хаоса, уровень которого можно контролировать, обычно рассматривается оценка, формируемая на условии сходимости корреляционной размерности аттрактора к дробному значению.