Аттракторы и фракталы

Таким образом, впервые в эксперименте наблюдалась самоорганизующаяся система, которая отвечает критерию эмерджентности — нередуцируемости целого к его частям. Сегодня важность этого феномена многократно усилена работами многих научных центров.

Итак, на основе принципа когерентности флуктуаций возникают устойчивые состояния диссипативных структур, другими словами, формы самотождественного бытия. Применительно к становлению устойчивых состояний можно говорить об их детерминирующей, сущностной составляющей. Бифуркационный анализ показал, что разные по уровню самоорганизации диссипативные структуры возникают на базе качественно отличных детерминирующих оснований. Особые детерминирующие устройства, характеризующие тот или иной уровень самоорганизации по способу их математического моделирования, получили название аттракторов (притягивающих множеств).

Теория бифуркаций рассматривает три типа аттракторов: устойчивый фокус (аттрактор-точка), устойчивый предельный цикл и хаотический аттрактор. Согласно такому представлению, в отличие от систем без аттракторов системы с аттракторами являются диссипативными.

Аттрактор-точка характеризует стационарное состояние системы. Устойчивый предельный цикл сообщает о периодическом движении, возвращающем систему к исходному состоянию.

Поведение системы, соответствующей предельному циклу, имеет характерную специфику: малые возбуждения не разрушают ее стационарного движения. Иначе говоря, реакция Б.П. Белоусова – А.М Жаботинского не способна к самоусложнению и самовозрастанию негэнтропийности. Согласно теории бифуркаций, есть примеры, в которых устойчивый фокус и устойчивый предельный цикл существуют одновременно, разделенные неустойчивым предельным циклом. С помощью вычислительного эксперимента, выводящего результаты на дисплей ЭВМ, бифуркационный анализ в состоянии обнаружить и зафиксировать появление и исчезновение предельных циклов так же, как и аттракторов иного типа.

Нарастание нелинейности в системе за пределы некоторого критического значения вновь приводит систему к бифуркации: на смену макроскопической согласованности приходит несогласованность случайных флуктуаций, приводящая к неоднозначным результатам.

Синергетика объясняет и тот случай, когда система становится способной к самовозрастанию негэнтропии. Возможность наращивания негэнтропии в системе обеспечивается хаотическим аттрактором. В силу специфики поведения хаотический аттрактор был назван “странным”. С появлением в системе странных аттракторов связан полномасштабный эффект самодетерминации. Отличительная особенность таких систем — способность к самодостройке: к выработке подразделений, недостающих для воспроизводства системы на расширенной основе. Как уже известно, в наибольшей степени этому критерию отвечают биологические и социальные организмы. Причем организм представляет собой диссипативную структуру особенно высокого уровня устойчивости. В общем случае странный аттрактор возникает вследствие бифуркации из предельного цикла. Сам он представляет собою притягивающее множество траекторий, среди которых все (или почти все) являются неустойчивыми. Устойчивость систем со странными аттракторами возникает из неустойчивости, внутренне присущей устройствам, перерабатывающим входную информацию.

Система Лоренца

Открытие “странного аттрактора” в диссипативных системах, которые представляют класс живых организмов, принадлежит Е. Лоренцу. Исходное уравнение, описывающее поведение системы, при задании некоторых параметров, представляется в виде

Уравнения подвергались всестороннему изучению многими исследователями, работающими в области анализа биологических сигналов, начиная с Е. Лоренца, который проинтегрировал их численно, используя фиксированные значения управляющих параметров a =10, b =8/3 и единственный переменный управляющий параметр r.

При 0< r <1 (рис. 2.1) имеем только одну критическую точку. Она является одновременно локальным и глобальным аттрактором. Другими словами, любое начальное состояние будет приближаться к началу координат при t, стремящемся к бесконечности. Когда r становится близким к единице, возникает критическое замедление, а при достижении величиной r значения +1 начало координат теряет устойчивость, и от него ответвляются два аттрактора, причем оба глобально и локально устойчивы. В случае r <1,345 имеем эффект равновесия — узлы, r >1,345 — получаются фокусы.

При увеличении r до величины 13,926 две неустойчивые траектории, исходящие из начала координат, возвращаются в начало координат при t, стремящемся к бесконечности, при этом перестают быть глобальными аттракторами. Напротив, они окружены окрестностями, в которых являются локальными. Точка, исходящая из области, лежащей вне этих окрестностей, может совершать колебательные движения из одной окрестности в другую и обратно. Такое поведение называют метастабильным хаосом (рис. 2.2).

При r =24,74 возникает так называемая инверсия бифуркации Хопфа, при r > 24,74 остается “странный аттрактор” (рис. 2.3). При больших значениях r в системе существует симметричный цикл (рис. 2.6 — r = 400). Далее при уменьшении параметра происходит бифуркация потери симметрии и в системе существуют два несимметричных периодических решения (рис. 2.5 — r =300), затем происходит каскад бифуркации удвоения (рис. 2.4 — r =225).

Одна из характеристик “странного аттрактора” заключается в том, что расхождение траекторий в одном направлении (индетерминистическая составляющая) компенсируется их сближением в другом направлении (детерминистическая составляющая).

“Странные аттракторы” выступают как устройства, которые порождают и рассеивают, т. е. перерабатывают информацию. Их отличает точный способ производства энтропии при переходе (и усилении) внутренних флуктуаций системы с микро- на макроскопический иерархический уровень. В то же время эти “устройства”, способные обеспечить определенную степень “сжатия” информации, действуют как своего рода “пылесос” в функциональном пространстве. В структуре аттрактора отчетливо наблюдаются свойства устойчивости или скорости производства разнообразия по одним направлениям и утраты информации по другим. Все возрастающая сложность таких взаимодействий служит постоянным источником новой информации. Поскольку “странным аттракторам” присуще гармоническое сочетание расходящихся и сходящихся траекторий, они служат “компрессорами” информации. В отличие от временной потери информации из-за притяжения к аттрактору на самом аттракторе происходит непрестанный процесс производства информации.