Общая теория систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Теорема

Теорема Кронекера-Капелли. Для того, чтобы система линейных уравнений имела хотя бы одно решение необходимо и достаточно, чтобы ранг от матрицы этой системы совпадал c рангом её расширенной матрицы (т.е. матрицы, в которой справа как её часть записаны свободные члены).

· Совместная система имеет хотя бы одно решение.

· Несовместная система – решений не имеет.

Система, в которой все свободные члены равны 0 называется приведённой.

Теорема. Если ранг матрицы приведённой системы равен r, то эта система имеет (n-r) линейно-независимых решений.

Любой набор из (n-r) линейно-независимых решений приведённой системы называется фундаментальной системой решений.

Теорема. Пусть  образует фундаментальную систему решений, тогда для любых констант  линейная комбинация  также является решением приведённой системы. 

И наоборот, на всякое решение приведённой системы существует константы , где векторы  – это фундаментальная система решений.

Общее решение неоднородной системы линейных уравнений. Теорема

, ,

Теорема: Пусть векторы , , …,  образуют фундаментальную систему решений приведённой системы (2), а вектор  является некоторым частным решением неоднородной системы (1), тогда общее решение неоднородной системы (1) задаётся вектором (3)  для всех , , …  ∈ ℝ.

И наоборот для любого решения неоднородной системы (1) существует константы , , …  ∈ ℝ такие что это решение представлено в виде (3), где , , …,  — это фундаментальная система решений приведённой системы (2).