2020-09-24
95
1. Составим расширенную матрицу: 
2. Обнулим все элементы ниже главной диагонали.
3. Восстанавливаем систему из полученной матрицы: 
4. Решаем систему
Ранг матрицы. Теорема. Теорема о базисном миноре. Теорема о ранге матрицы.
Ранг прямоугольной матрицы – наибольший порядок её базисных миноров.
Базисный минор – минор r-ого порядка, отличный от 0, при чём все миноры r+1-ого порядка равны нулю или не существуют.
Теорема. Неособенные элементарные преобразования над строками или столбцами не изменяют её ранг.
Теорема о базисном миноре. В произвольной матрице каждая её строка есть линейная комбинация строк, в которых расположен базисный минор.
Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно-зависимых строк.
Замечание. Так как операция транспонирования не меняет ранг матрицы, то справедливо, что ранг матрицы равен максимальному числу её линейно-независимых столбцов.
Следствие. Ранг матрицы построчно совпадает с рангом матрицы по столбцам
На практике удобнее всего находить ранг матрицы при помощи неособенных элементарных преобразований. Например, привести её к ступенчатому виду (в том числе и прямоугольную) и посчитать количество ненулевых строк. При этом строки переставлять нельзя!
