Критерий компланарности вектора и плоскости. Теорема

Теорема. Пусть относительно прямоугольно-декартовой системы координат заданы вектор и плоскость, заданная (2). Тогда необходимое и достаточное условие компланарности вектора и данной плоскости имеет вид:

Доказательство:

· Отложим вектор от произвольной точки заданной плоскости.

· Конец Р отложенного вектора будет иметь координаты .

· Вектор коллинеарен заданной плоскости тогда и только тогда, когда точка Р лежит в данной плоскости, т.е. выполняется уравнение (2):

· лежит в плоскости, следовательно, .

· После раскрытия скобок с учётом уравнения выше остаётся условие:

Из этой теоремы следует, что главный вектор плоскости , заданной общим уравнением плоскости относительно общей декартовой системы координат, не компланарен этой плоскости: .

Уравнение плоскости, проходящей через 2 заданные точки и компланарной ненулевому вектору. Теоремы 1-3

Теорема. Пусть относительно прямоугольно-декартовой системы координат заданы две точки и и ненулевой вектор , компланарный плоскости . Тогда уравнение плоскости имеет вид:

Доказательство:

· Пусть три точки , точка с координатами , а также лежат на .

· Векторы с координатами , и вектор компланарны.

· Следовательно, матрица из их координат равняется 0.

Обратная теорема. Всякое решение уравнения (1) определяет точку с координатами , лежащую на плоскости.

Теорема: Пусть относительно прямоугольно-декартовой системы координат заданы , , . Тогда уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой: