Уравнение плоскости в отрезках. Теорема

11 12 13 14 15 16 17

Доказательство:

Плоскость пересекает координатные оси в точках с координатами , , .

Параметрические уравнения плоскости. Теорема

Доказательство:

· Пусть и компланарны плоскости, а лежит на этой плоскости.

· Выберем на плоскости произвольную точку .

· лежит на плоскости только тогда, когда – компланарны.

· Если – компланарны, то их можно выразить через друг друга:

· Записав разложение вектора по координатам получаем параметрическое уравнение прямой.

Частные случаи расположения плоскости относительно прямоугольно-декартовой системы координат. Теорема

Теорема. Пусть дана плоскость . Тогда:

· , когда ;

· , когда .

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Теоремы 1-3

Теорема. Пусть даны две плоскости: и . Тогда:

· , когда ;

· , когда .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении. Параметрические уравнения прямой. Теорема

Теорема. Пусть прямая , коллинеарный ненулевому вектору , проходит через , тогда уравнение прямой проходящей через заданную точку и ненулевой вектор задаётся уравнением:

В параметрической форме:

Доказательство:

· Произвольная точка лежит на тогда и только тогда, когда коллинеарен , что равносильно уравнению (1).

· Так как – ненулевой, то . Записав это уравнение в координатной форме, мы получаем (2).

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в пространстве. Теорема

Теорема. Пусть точки и лежат на прямой . Тогда прямая задаётся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки: