2020-09-24
153
Доказательство:
· 
· 
· 
· 
Плоскость пересекает координатные оси в точках с координатами 
, 
, 
.
Параметрические уравнения плоскости. Теорема
Доказательство:
· Пусть 
и 
компланарны плоскости, а 
лежит на этой плоскости.
· Выберем на плоскости произвольную точку 
.
· лежит на плоскости только тогда, когда 
– компланарны.
· Если – компланарны, то их можно выразить через друг друга:
· Записав разложение вектора 
по координатам получаем параметрическое уравнение прямой.
Частные случаи расположения плоскости относительно прямоугольно-декартовой системы координат. Теорема
Теорема. Пусть дана плоскость 
. Тогда:
· 
, когда 
;
· , когда 
;
· , когда 
;
· 
, когда 
;
· 
, когда 
;
· , когда 
;
· , когда 
;
· 
, когда 
;
· 
, когда 
;
· 
, когда 
.
Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Теоремы 1-3
Теорема. Пусть даны две плоскости: 
и 
. Тогда:
· 
, когда 
;
· 
, когда 
;
· 
, когда 
.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении. Параметрические уравнения прямой. Теорема
Теорема. Пусть прямая 
, коллинеарный ненулевому вектору 
, проходит через 
, тогда уравнение прямой проходящей через заданную точку и ненулевой вектор задаётся уравнением:
В параметрической форме:
Доказательство:
· Произвольная точка лежит на 
тогда и только тогда, когда коллинеарен 
, что равносильно уравнению (1).
· Так как – ненулевой, то 
. Записав это уравнение в координатной форме, мы получаем (2).
Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в пространстве. Теорема
Теорема. Пусть точки 
и 
лежат на прямой . Тогда прямая задаётся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки:
Доказательство:
1. Если за направляющий вектор взять 
коллинеарный , то тогда в силу теоремы предыдущей темы прямая задаётся уравнением (1).
Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Теоремы 1-4
Теоремы. Пусть относительно прямоугольно-декартовой системы координат в пространстве заданы две прямые своими уравнениями: 
. Тогда
1. 
– скрещивающиеся, если 
;
2. 
, если 
;
3. 
, если 
но 
;
4. – совпадают если 
.
