2020-09-24
77
· Даны: прямая 
, заданная уравнением 𝒚=, 𝒌-𝟏.𝒙+𝒃, и прямая 
, заданная уравнением 𝒚=,𝒌-𝟐.𝒙+𝒃.
· Обозначим угол между прямыми за 
, угол между прямой и 
за 
, а угол между и за 
(где 
).
· 
· 
· 
𝒕𝒈 
𝒕𝒈 
𝒕𝒈 
· 
k1 
(так как 
= 𝑡𝑔 
, а 
= 𝑡𝑔 
)
Замечание: если в качестве угла возьмём смежный угол, то получится результат с минусом.
Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Теоремы 1-3
Пусть даны две прямые 
и 
Теорема 1. Прямые 
пересекаются в некоторой точке тогда и только тогда, когда 
.
Теорема 2. Прямые параллельны тогда и только тогда, когда 
.
Теорема 3. Прямые совпадают, когда 
.
Плоскость в пространстве. Уравнение плоскости, проходящей через точку и два неколлинеарных вектора. Теорема
Уравнение плоскости в пространстве – это линейное уравнение первой степени относительно неизвестных 
.
Теорема. В прямоугольно-декартовой системе координат уравнение плоскости, проходящий через точку 
и два неколлинеарных вектора 
; 
и 
; 
задаётся:
Доказательство:
· Пусть 
; 
и 
; 
лежат в одной плоскости.
· Возьмём на плоскости произвольным образом точки 
и составим 
.
· 
, 
, 
– компланарны, следовательно, их смешанное произведение равно 0: 
ч.т.д.
Верно и обратное утверждение. Всякое решение уравнения (1) определяет точку с координатами 
, лежащую на плоскости.
Общее уравнение плоскости
· Разложим по первой строке доказанную в прошлой теме теорему:
· Введём обозначения:
· Обозначим через 
· Имеем общее уравнение плоскости:
Здесь 
, так как векторы 
; 
и 
; 
не коллинеарны, а значит определители в разложении одновременно не равны нулю для 
.
Верно и обратное утверждение. Всякое решение (2) определяет точку с координатами 
, лежащую на плоскости.
Замечание: вектор 
, где 
– плоскость, заданная (2). Доказательство:
· Возьмём две лежащие на плоскости точки: 
и 
.
· Координаты этих точек должны удовлетворять (2):
(3)
(4)
· Вычтем из (4) (3):
· Это равенство, по сути, представляет собой скалярное произведение, равное нулю:
· 
· Так как 
, то 
