Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Теоремы 1-2

Теоремы. Пусть относительно прямоугольно-декартовой системы координат в пространстве заданы плоскость и прямая . Тогда:

1. , если ;

2. , если  и ;

3. , если  и .

Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Теорема

Пусть относительно прямоугольно-декартовой системы координат заданы две плоскости:

 и

.

Теорема.  задаётся своим каноническим уравнением , где .

Геометрический смысл неравенства первой степени с тремя неизвестными

Плоскость   делит пространство на два полупространства:

· () положительно-ориентированное;

· () отрицательно-ориентированное.

Расстояние от точки до плоскости в пространстве. Теорема

Теорема. Заданы:  и . Расстояние  от  до  определяется по формуле:

Доказательство:

· возьмём на  произвольным образом точку на плоскости  и составим вектор ;

· ;

· расстояние  от точки  до  равно проекции  на ;

· С другой стороны,  , где  – угол между ;

·

·  – перпендикуляр к плоскости, рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором

·

·

·  (а значит )

·

Угол между двумя плоскостями. Условие перпендикулярности и параллельности двух плоскостей

Пусть относительно прямоугольно-декартовой системы координат заданы 2 плоскости:

 и

Углом между  и  называют угол между векторами  и , перпендикулярными  и  соответсвенно:

Из этой формулы следует, что:

1.  когда ;

2.  когда .

Нормальное уравнение прямой в пространстве

Угол между двумя прямыми в пространстве. Условие перпендикулярности и параллельности двух прямых в пространстве

Пусть относительно прямоугольно-декартовой системы координат заданы две прямые своими каноническими уравнениями:

 и

Тогда  и  – направляющие векторы  и  соответственно.

Углом между прямыми называют угол между направляющими векторами. Справедлива формула:

.

Из этой формулы следует, что:

1. , когда ;

2. , когда .