Кратчайшее расстояние между двумя прямыми в пространстве

Имеются две скрещивающиеся прямые, заданные каноническими уравнениями:

 и

Поверхности второго порядка: Эллипсоид. Однополостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид вращения. Конус второго порядка

Эллипсоид – поверхность, заданная относительно прямоугольно-декартовой системы координат своим уравнением:

Очевидно, что уравнение не меняется при замене   на ,   на   на . Значит поверхность симметрична относительно начала координат, осей, координатных плоскостей.

Из (1) вытекает . Аналогичным образом доказывается: , . Отсюда следует, что эллипсоид содержится внутри прямоугольного параллелепипеда с вершинами , при чём грани параллелепипеда касаются эллипсоида в точках, определяющих вершины эллипсоида, а именно:

Линии пересечения эллипсоида с координатными плоскостями.

· с координатной плоскостью :

· с координатной плоскостью :

· с координатной плоскостью :

· c плоскостью :

o если  то . Решений нет → плоскость не пересекает эллипсоид.

o если , то . Равенство выполняется только . Касание происходит в точках

o если , то . При делении обе части уравнения на  получается:

· аналогично, учитывая первые два случая, c плоскостью :

· аналогично, учитывая первые два случая, c плоскостью :

Если , то эллипсоид называется трёхосным.

Пусть , тогда эллипсоид получается в результате вращения эллипса  вокруг оси , которая называется малой осью эллипса.

Пусть , тогда эллипсоид получается в результате вращения эллипса .

 

Основное свойство конусов второго порядка

Асимптотический конус. Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид

Цилиндры второго порядка