Индивидуальные задания

 Вариант 1

1. Для контроля продукции из 3-х партий деталей взята для испытания одна деталь. Деталь с равной вероятностью может быть взята из каждой партии. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 2/3 деталей бракованных, а в 2-х других - все стандартные?

 

2. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависит от их местоположения, и находятся в отношении 1:2:2. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равна для первой кассы 0,3, для второй - 0,4, для третьей - 0,5. Пассажир направился в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была первая касса.

Вариант 2

1. Среди студентов института - 30% первокурсники, 35% студентов учатся на 2-м курсе, на 3-м и 4-м курсе их 20% и 15% соответственно. По данным деканатов известно, что на первом курсе 20% студентов сдали сессию только на отличные оценки, на 2-м - 30%, на 3-м - 35%, на 4-м - 40% отличников. Наудачу вызванный студент оказался отличником. Чему равна вероятность того, что он (или она) - третьекурсник?

 

2. При разрыве снаряда образуется крупные, средние и мелкие осколки в отношении 1:3:6. При попадании в бронетранспортер, крупный осколок пробивает броню с вероятностью – 0,9, средний – 0,3, мелкий – 0,1. Какова вероятность, что попавший в броню осколок пробьет броню?

Вариант 3

1. Приборы одного наименования изготовляются двумя заводами. 1-ый завод поставляет 2/3 всех приборов, 2-ой – 1/3. Надежность приборов 1-го завода 0,95, а 2-го - 0,92. Найти надежность прибора, поступающего в продажу.

2. Игроки могут с равной вероятностью играть в одну из двух игр. В одной игре используется одна игральная кость, а в другой – две. Счёт в игре в первом случае равен количеству очков, выпавших на кости, а во втором – сумме очков, выпавших на обеих костях. Вы слышите, что выпало два очка. Какова вероятность, что играют в игру с одной костью?

 

Вариант 4

1. На трёх дочерей Аню, Катю и Анфису в семье возложена обязанность по мытью тарелок. Аня, как старшая, выполняет 40% всей работы, остальную работу Катя и Анфиса делят пополам. Вероятность того, что Аня может разбить тарелку равна 0,02, для Кати и Анфисы эта вероятность равна 0,03 и 0,02 соответственно. Родители слышали звон разбитой посуды. Какова вероятность, что тарелки мыла Аня?

2. При передаче сообщения сигналами «точка» и «тире», эти сигналы встречаются в соотношении 5:3. Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сообщений «тире». Найти вероятность того, что произвольный из принятых сигналов не искажен.

Вариант 5

1. На книжной полке 4 книги являются детективами, 6 – романы, а 10 – фантастика. Вероятность того, что книга понравится, равна: для детектива – 0,8, для романа – 0,6, для фантастики – 0,35. В дорогу выбирается первая попавшаяся книга. Чему равна вероятность того, что она понравится?

2. При отклонении от нормы режима работы автомата срабатывает сигнализатор С1 с вероятностью 0,8, а С2 - с вероятностью 0,4. Вероятность того, что автомат снабжен сигнализатором С1 равна 0,6, а С2 - 0,4. Получен сигнал о разладе автомата. Какова вероятность того, что автомат снабжен сигнализатором С1?

Вариант 6

1. В группе спортсменов - 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму равна для лыжника 0,9; для велосипедиста -0,8; для бегуна - 0,75. Вызванный наудачу спортсмен норму выполнил. Найти вероятность того, что это бегун.

2. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,67. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нас периода, равна 0,35. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?

Вариант 7

1. Компания по страхованию автомобилей разделяет водителей по трем классам: класс А (мало рискует), класс В (рискует средне), класс С (рискует сильно). Компания предполагает, что из всех водителей, застрахованных у нее, 30% принадлежат к классу А, 50% - к классу В, 20% - к классу С. Вероятность попасть в автомобильную катастрофу в течение 12 месяцев для класса А равна 0,01, для класса В – 0,03, для класса С – 0,1. Некто страхует свою машину в этой компании и в течение 12 месяцев попадает в аварию. Какова вероятность того, что он относится к классу А?

2. В трех корзинах в детском саду лежат игрушки. В первой 5 зайчиков и 3 собачки, во второй – 8 зайчиков и 3 собачки и в третьей – 7 зайчиков и 2 собачки. Ребенок подошел к наугад выбранной корзине и взял игрушку. Какова вероятность, что это собачка?

Вариант 8

1. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15; 0,7 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,6, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,3, когда ситуация «посредственная», и с вероятностью 0,1, когда ситуация «плохая». Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния возрос. Чему равна вероятность того, что экономика страны на подъеме?

2. На сборку поступают изделия с трех автоматов. Первый дает в среднем 0,2% брака, второй – 0,1% и третий – 0,5%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если отношение числа деталей, произведенных на трех автоматах 2:3:3.

Вариант 9

1. Из 1000 ламп 200 принадлежит 1-ой партии, 300 - 2-ой, 500 - 3-ей. В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Определить вероятность того, что наудачу выбранная лампа будет бракованной.

2. Сообщение можно передать письмом, по телефону и по факсу с одинаковой вероятностью. Вероятности того, что сообщение дойдет до получателя в каждой из перечисленных возможностей соответственно равны 0,7, 0,6 и 0,9. Сообщение адресатом получено. Какова вероятность, что оно передано по факсу?

Вариант 10

1. В группе 25 студентов: 4 отличника, 9 хорошистов, остальные - троечники. Вероятность получения оценки “отлично” на экзамене по математике для первых – 0,95, для вторых – 0,7, для троечников – 0,3. Студент получил пятерку на экзамене. Найти вероятность, что он хорошист.

2. При слиянии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью, равной 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха будет равна 0,3. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,7. Чему равна вероятность успеха сделки?

Вариант 11

1. Имеются три одинаковых ящика. В первом ящике лежат 2 белых и 2 чёрных шара; во втором ящике - 3 чёрных; в третьем - 1 чёрный и 5 белых. Некто, случайным образом выбирая ящик, наугад вынимает из него шар. Какова вероятность, что шар будет белый?

2.   На факультете юношей в три раза больше, чем девушек. 80% студентов и 75% девушек имеют пригласительные билеты на факультетский вечер. В деканат принесли кем-то потерянный билет. Какова вероятность того, что он принадлежит юноше?

Вариант 12

1.  Приборы одного наименования изготавливаются тремя заводами: первый поставляет в два раза больше, чем второй, третий в три раза меньше, чем второй. Вероятность безотказной работы прибора в течение гарантированного срока равна 0,8 для первого завода, 0,85 для второго и 0,9 для третьего. Наудачу взятый прибор выдержал гарантийный срок. Найти вероятность того, что он изготовлен на втором заводе.

2. Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок будет продан в течение ближайших 6 месяцев с вероятностью 0,9, если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться. Если же экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок составит 0,5. Экономист, консультирующий агента, полагает, что с вероятностью, равной 0,7, экономическая ситуация в регионе в течение следующих 6 месяцев будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение ближайших 6 месяцев?

Вариант 13

1. Из числа авиалиний некоторого аэропорта 60% -местные, 30% -по СНГ и 10% -международные. Среди пассажиров местных авиалиний 50% путешествуют по делам, связанным с бизнесом, на линиях СНГ таких пассажиров 60%, на международных - 90%. Из прибывших в аэропорт пассажиров случайно выбирается один. Чему равна вероятность того, что он бизнесмен.

2. Первый станок производит в три раза меньше болтов, чем второй. В продукции первого станка брак составляет 2%, а в продукции второго – 3%. Выбранный наудачу болт оказался годным. Какова вероятность того, что он произведен первым станком?

Вариант 14

1. Три  хлебокомбината города производят продукцию, обеспечивающую город хлебобулочными изделиями в пропорции 2:3:5. Первый хлебокомбинат производит 30% продукции высшего качества, второй - 40%, третий - 60%. Приобретенный продукт оказался высшего качества. Найти вероятность того, что это изделие изготовлено на втором  хлебокомбинате.

2. Прибор может работать в трех режимах: нормальном, форсированном и недогруженном. Нормальный режим наблюдается в 70% случаев работы прибора, форсированный - в 20%, недогруженный - в 10%. Надежность прибора (вероятность безотказной работы в течение заданного времени t) для нормального режима равна 0,8, для форсированного - 0,5, для недогруженного-0,9. Найти полную (с учетом случайности условий) надежность прибора.

Вариант 15

1.  Среди поступающих на сборку деталей с первого автомата – 1% бракованных, со второго автомата – 2%, с третьего – 2%, с четвертого – 3%. Производительности автоматов относятся, как 4:3:2:1 соответственно. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется стандартной.

  2. Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследований показали, что 70% женщин позитивно реагируют на изучаемый круг ситуаций, в то время как 40% мужчин реагируют на них негативно. 15 женщин и 5 мужчин заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предлагаемым ситуациям. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнял мужчина?

Вариант 16

1. Судоходная компания организует средиземноморские круизы в течение летнего периода и проводит несколько круизов в сезон. Поскольку в этом виде бизнеса очень высокая конкуренция, то важно, чтобы все каюты зафрахтованного под круизы корабля были полностью заняты туристами, тогда компания получит прибыль. Эксперт по туризму, нанятый компанией, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон в течение сезона, будет равна 0,92, если доллар не подорожает по отношению к рублю, и с вероятностью - 0,75, если доллар подорожает. По оценкам экономистов, вероятность того, что в течение сезона доллар подорожает по отношению к рублю, равна 0,23. Чему равна вероятность того, что билеты на все круизы будут проданы?

2. Из 18 стрелков пять попадают в цель с вероятностью 0,8; семь – с 0,7; четыре - с 0,6 и два - с 0,5. Наудачу выбранный стрелок промахнулся. Какова вероятность того, что он принадлежал к группе, которая имела наибольшую вероятность попадания?

Вариант 17

1. Завод получает 45% деталей завода №1, 30% – завода №2, 25% – завода №3. Вероятность того, что деталь 1-ого завода отличного качества равна 0,7; для 2-ого и 3-его завода эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Сборщик берет наудачу одну деталь. Какова вероятность, что она отличного качества?

2. В сборной по футболу 7 игроков из «Спартака», 8 – из «Динамо», 6 – из «Локомотива» и 4 – из ЦСКА. Статистикой установлено, что вероятность забить гол в играх сборной для спартаковца составляет 0,5, для динамовца -0,4, для железнодорожника - 0,35 и для армейца - 0,3. В матче нашими футболистами забит один гол. Какова вероятность того, что его забил игрок «Спартака»?

 

Вариант 18

1. Противник использует самолеты пяти типов. Известно, что на данном участке фронта сосредоточено примерно равное числе самолетов каждого типа. Вероятности сбить самолет при проходе над оборонительной зоной соответственно равны для них 0,6, 0,3, 0,2, 0,1, 0,1. Самолет противника, прорывавшийся через оборонительную зону, сбит. Чему равна вероятность того, что это самолет первого типа?

2. Транснациональная компания обсуждает возможности инвестиций в некоторое государство с неустойчивой политической ситуацией. Менеджеры компании считают, что успех предполагаемых инвестиций зависит, в частности, и от политического климата в стране, в которую предполагается вливание инвестиционных средств. Менеджеры оценивают вероятность успеха в 0,55, если преобладающая политическая ситуация будет благоприятной; в 0,3, если политическая ситуация будет нейтральной; в 0,1, если политическая ситуация в течение года будет неблагоприятной. Менеджеры компании также полагают, что вероятности благоприятной, нейтральной и неблагоприятной политических ситуаций соответственно равны: 0,6, 0,2 и 0,2. Чему равна вероятность успеха инвестиций?

Вариант 19

1. В магазин поступили однотипные изделия с 3-х заводов, причем 1-й завод поставляет 20% изделий, 2-ой - 30%, 3-й - 50%. Среди изделий 1-го завода 80%, 2-го - 60%, 3-го - 50% первосортных. Определить вероятность купить первосортное изделие.

2. В компьютерном классе института 7 IBM типа Pentium и 5 компьютеров других модификаций. Вероятность сбоя в работе в течение учебного занятия для Pentium равна 0,2, для других компьютеров – 0,3. Студент на занятии работает за произвольно выбранным компьютером. На занятии компьютер дал сбой в работе. Найти вероятность того, что студент работал на Pentium.

Вариант 20

1. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса - 0,13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

2.  Из 4-х игральных костей одна фальшивая, на ней 6 очков выпадает с вероятностью 1/3. При бросании случайно выбранной кости выпала шестёрка. Какова вероятность того, что была выбрана фальшивая кость?

Вариант 21

1. Вероятность того, что в некотором производстве изделие удовлетворяет стандарту, равна 0,96. Предполагается упрощенная система испытаний, которая для стандартных изделий дает положительный результат с вероятностью 0,98, а для изделий, не удовлетворяющих стандарту, с вероятностью 0,05. Какова вероятность того, что изделие, выдержавшее испытание, удовлетворяет стандарту?

2. Была проведена одна и та же контрольная работа в трех параллельных группах. В 1-й группе, где 30 учащихся, оказалось 8 работ, выполненных на «отлично»; во 2-й, где 28 учащихся, - 6 работ; в 3-й, где 27 учащихся, - 9 работ. Найти вероятность того, что первая взятая наудачу при повторной проверке работа (из работ, принадлежащих группе, которая также выбрана наудачу) окажется выполненной на «отлично».

Вариант 22

1. В корпорации обсуждается маркетинг нового продукта, выпускаемого на рынок. Исполнительный директор корпорации желал бы, чтобы новый товар превосходил по своим характеристикам соответствующие товары конкурирующих фирм. Основываясь на предварительных оценках экспертов, он определяет вероятность того, что новый товар более высокого качества по сравнению с аналогичными в 0,5, такого же качества - в 0,3, хуже по качеству - в 0,2. Опрос рынка показал, что новый товар конкурентоспособен. Из предыдущего опыта проведения опросов следует, что если товар действительно конкурентоспособный, то предсказание такого же вывода имеет вероятность, равную 0,7. Если товар такой же, как и аналогичные, то вероятность того, что опрос укажет на его превосходство, равна 0,4. И если товар более низкого качества, то вероятность того, что опрос укажет на его конкурентоспособность, равна 0,2. С учетом результата опроса оцените вероятность того, что товар действительно более высокого качества.

2. В тире имеется 5 винтовок, вероятности попаданий из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одну из винтовок наудачу.

Вариант 23

1. Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае - в 0,25. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,4. Чему равна вероятность заключения контракта?

 

2. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность 1-го автомата вдвое больше производительности 2-го. 1-й автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а 2-й - 84% деталей отличного качества. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена 1-м автоматом.

Вариант 24

1. Половина всех арбузов поступает в магазин с 1 - ой базы, 1/3 - со 2 - ой базы, остальные - с 3 - ей базы. Арбузы с повышенным содержанием нитратов составляют на 1 - ой базе 15%, на 2 - ой базе - 10%, на 3 - ей - 20%. Какова вероятность купить недоброкачественный арбуз?

2. Первая урна содержит 3 красных, 2 белых и 1 синий шар. Вторая урна содержит 4 белых и 2 синих шара. Бросается игральная кость. Если на ней выпало 1 или 6 очков, вынимается шар из первой урны, в противном случае – из второй. Вытащен синий шар. Какова вероятность, что он взят из второй урны?

Вариант 25

1. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4 студента, из второй - 6 студентов, из третьей - 5. Вероятности того, что студент из первой, второй, третьей групп попадет в сборную института соответственно равны 0,9; 0,7; 0,8. Один из отобранных студентов попал в сборную команду. Какова вероятность, что он принадлежит к первой группе?

2. Агентство по страхованию автомобилей разделяет водителей по трем классам: № 1 (мало рискует), № 2 (рискует средне), №3 (рискует сильно). Агентство предполагает, что из всех водителей, застраховавших автомобили, 30% принадлежат к классу №1, 50% -к классу №2 и 20%-к классу № 3. Вероятность того, что в течение года водитель класса № 1 попадет хотя бы в одну аварию, равна 0,01. для водителя класса № 2 эта вероятность равна 0,02, а для водителя класса №3 - 0,08. Найти вероятность того, что водитель, застраховавший свою машину, не попадет в аварию течение года.