Неявная схема решения

В некоторых случаях мелкая сетка элементов не связана с большими градиентами температуры и высокой скоростью переходных тепловых процессов. Тогда переход на неявную схему позволяет существенно увеличить шаг решения без потери точности и сократить машинное время решения задачи. Каждый шаг по неявной схеме требует существенно больших вычислительных затрат, поэтому переход на нее может быть оправдан при укрупнении шага решения не менее, чем на порядок.

Согласно (2.24), в каждой внутренней ячейке

,                 (12.26)

где N – количество границ ячейки. В этом выражении, в отличие от (12.24), потоки тепла записаны не для начала, а для конца текущего шага решения. Если ячейка имеет наружные границы с условиями 2 и 3 рода, то добавляются потоки тепла через эти границы:

. (12.27)

Получаем систему уравнений относительно неизвестных температур конца шага

.                                  (12.28)

Диагональные коэффициенты матрицы проводимости

;         (12.29)

внедиагональные коэффициенты матрицы

;                           (12.30)

Правая часть – вектор поступившей теплоты

.         (12.31)

Узлы, в которых заданы граничные условия 1 рода  необходимо исключить из системы уравнений (температуры в них уже известны). Одно из уравнений, с диагональным коэффициентом матрицы  полностью исключается из системы (заменяется на ). В остальных уравнениях из матрицы исключается столбец с коэффициентами , соответствующими узлу с температурой . Взамен него в правой части каждого из остальных уравнений появляется добавка . Таким образом, с учетом всех граничных условий, в правой части имеем:

.         (12.32)

Поскольку свойства материала определяются для температуры начала шага, большие изменения температуры за шаг могут вызывать погрешности при нелинейности свойств. В этом случае требуется итерационная процедура для уточнения полученного решения.