Сопоставление явной и неявной схем решения

Рассмотренный алгоритм не требует составления всей системы уравнений теплового баланса для конечно-элементной модели. Для каждой точки  найдем в начале шага в момент времени  тепловые потоки в эту точку из соседних по известным температурам в этой точке и соседних точках  и . Принятое допущение, что найденные тепловые потоки остаются постоянными в течение всего временн о го шага , позволяет составить уравнение, в котором только одно неизвестное - , и сразу же его решить. Такая схема решения называется явной (рис. 12.8, а). Ее достоинства:

- позволяет проследить переходный процесс, развивающийся в модели в течение некоторого времени после изменения граничных условий;

- не требует составления системы уравнений;

- не требует итераций при нелинейности свойств (так как и свойства принимаются в течение всего шага  постоянными - такими, какими они были в начале шага.

Недостаток явной схемы:

- требует ограничения шага решения , причем предельный шаг зависит от размеров ячеек (шага  на схеме); при его превышении нарушается устойчивость решения (начинаются нарастающие колебания температуры ячеек от шага к шагу).

Следует отметить, что часто этот мелкий шаг действительно необходим для правильного моделирования нестационарного процесса.

Рис. 12.8. Явная (а) и неявная (б) схемы моделирования физических процессов

Представим себе, что явная схема применяется для численного решения сложной задачи, точное решение которого известно и может быть изображено кривой изменения температуры во времени  (рис. 12.9). Решение по явной схеме представлено стрелкой, направленной по касательной к этой кривой. Если шаг решения по времени достаточно мелкий, то совокупность стрелок достаточно близко воспроизводит моделируемую кривую. Однако при большом шаге решение по явной схеме необратимо удаляется от точного решения.

Отличие неявной схемы от явной в том, что тепловые потоки в точку  определяются по неизвестным температурам в этой и соседних точках в конце шага ,  и  (рис. 8, б). Как и для явной схемы, принимается допущение, что найденные тепловые потоки остаются постоянными в течение всего временн о го шага . Составленное уравнение содержит несколько неизвестных (,  и ). После составления аналогичных уравнений для всех точек модели получаем систему уравнений, число которых равно числу неизвестных. Из решения этой системы определяются температуры в конце шага во всех точках.

Рис. 12.9. Сопоставление явной (Я) и неявной (Н) схем

Достоинства неявной схемы:

- позволяет делать любые шаги, устойчивость решения при этом сохраняется (см. рис. 12.9);

- позволяет сразу находить равновесное установившееся состояние, не прослеживая промежуточных шагов;

- наиболее целесообразна в тех случаях, когда либо переходный процесс занимает мало времени и не влияет на изучаемые результаты, либо состояние модели близко к равновесному и в ней ничего не происходит (стационарные и квазистационарные задачи и стадии выравнивания температуры).

Недостатки неявной схемы:

- требует составления решения системы уравнений с большим количеством неизвестных;

- при нелинейности свойств приводит к итерационной процедуре;

- при прослеживании переходного процесса не дает выигрыша в точности по сравнению с явной схемой (поскольку поток теплоты в течение шага в той и в другой схеме принят постоянным).