Конечные элементы высших порядков

Рассмотренный в пункте 12.34 треугольный КЭ - элемент постоянной деформации. Если распределение перемещений описывают линейные функции (12.93), то компоненты деформации постоянны в пределах элемента (не зависят от координат):

.

Во всех точках элемента значения любой компоненты деформации и напряжения одинаковы, при переходе к соседнему элементу они меняются скачкообразно. Поле перемещений на границе элементов непрерывное, а поле деформаций имеет разрыв.

Можно предложить два пути повышения точности:

1. Измельчение элементов. Этот путь - простой и универсальный, но ведет к увеличению числа уравнений и резкому росту вычислительных затрат. Если  число неизвестных , то объем памяти для матрицы жесткости пропорционален , а число операций для решения системы уравнений и время счета пропорциональны . К тому же такие простые элементы увеличивают жесткость модели по сравнению с реальной, поскольку их границы остаются прямыми (не могут искривляться).

2. Усложнение элементов позволяет получить ту же точность при меньшем числе узлов. Если применять для аппроксимации полиномы высокого порядка, коэффициентов в них будет больше, и в каждом элементе должно быть больше узлов. Добавление еще трех узлов в линейный треугольный конечный элемент (переход к квадратичному элементу) дает более высокую точность, чем разбиение данного КЭ на четыре линейных элемента. Этот путь ведет к усложнению работы программиста (практически он берет часть вычислений компьютера на себя). Проблемы возрастают при нелинейности, например при текучести. Элемент постоянной деформации переходит в пластическое состояние сразу весь, а сложный элемент может иметь упругие и пластические части. В этом случае несколько простых элементов, возможно, дадут более высокую точность, чем один сложный.

Таким образом, сложные методы решения дают максимальный эффект при решении простых задач. Они нацелены на отыскание в решаемой задаче простоты и ее использование в целях экономии времени счета и памяти компьютера. Общее правило: выбирать простейший из пригодных для данной модели тип КЭ.

Линейный КЭ плохо работает в условиях текучести у концентраторов напряжения. Волокна материала в этой зоне под нагрузкой сильно изгибаются, а жесткие границы линейных КЭ плохо воспроизводят этот изгиб. В элементах появляются «помехи» - ложные деформации изменения объема и гидростатические напряжения. Границы квадратичного КЭ могут изгибаться, при этом погрешность резко сокращается.

Можно рекомендовать восьмиузловой элемент для двумерных задач и двадцатиузловой - для объемных.

Суперэлементы

Один из методов решения системы МКЭ называется фронтальным. Дело в том, что для исключения первого неизвестного при решении системы уравнений методом Гаусса нужны не все уравнения, а только несколько первых, в которые данное неизвестное входит. Поэтому составление и решение системы могут идти параллельно: двигаясь фронтом по модели, мы составляем часть системы уравнений и тут же исключаем часть неизвестных. Метод позволяет сэкономить память и время счета.

Та же идея заложена в применение суперэлементов, которые представляют собой элементы высокого порядка, собранные из более простых.

Составляем частично систему уравнений для отдельного участка модели. Исключение неизвестных начинаем с внутренних узлов участка, оставляя узлы на границе этого участка с остальной частью модели. После этой операции получаем суперэлемент для этого участка с узлами только на границе, но с такими же параметрами жесткости, как у исходной совокупности большого числа элементов, содержащихся внутри.

Проделав такую операцию с каждым участком, можно затем собрать из этих суперэлементов всю модель и исключить оставшиеся неизвестные. Общее число операций при этом такое же, но на каждом этапе как бы решается система уравнений меньшего размера.

Экономия возможна, если имеется большое число одинаковых суперэлементов. Тогда операция исключения внутренних неизвестных для них проводится один раз. Если зона пластических деформаций невелика, выгодно превратить в суперэлемент упругую часть модели.

Наиболее полезны суперэлементы для моделирования сварочных процессов. Всю зону сварки можно разбить на одинаковые секции в направлении оси шва и заменить суперэлементами, что позволяет сэкономить память при решении сложных задач.