Верхняя и нижняя грани числовых множеств

Среди всех чисел, ограничивающих сверху и снизу данное множество, наименьшее и наибольшее из них имеют специальные названия.

Определение 1. Наибольшее из всех чисел, ограничивающих снизу подмножество ℝ, называется его нижней гранью: . (inf от латинского слова инфимум – «наименьший», «наинизший»).

Обозначение:  или .

Пример. Дано ограниченное снизу множество , , .

Множество  ограничивают снизу и такие числа .

Но из них число наибольшее. .

А из элементов множества  число самое наименьшее. , . Поэтому в переводе «inf» – наименьший, наинизший.

Определение 2. Наименьшее из всех чисел, ограничивающих сверху множество ℝ, называется его верхней гранью: . (sup – латинского слова супремум – в переводе наибольший, наивысший)

Обозначение:  или .

Пример 1. Дано множество , ограниченное сверху. , .

Множество  ограничивают сверху и такие числа: 4, 5, 6… Но число наименьшее из всех чисел, ограничивающих сверху множество .

А из элементов множества  число  – самое наибольшее, наивысшее.

sup =3            

Пример 2. Пусть множество действительных чисел  есть интервал , т.е. , тогда .

Определение 3. Верхнюю и нижнюю грани множества называют точной верхней и точной нижней гранями (границами) множества.

Замечание. Если множество  не ограниченно сверху, то пишут .

Если множество  не ограниченно снизу, то пишут .