Действительные числа и их свойства

Лекция №3

1. Лемма о непересекающихся окрестностях.

2. Ограниченные и неограниченные множества.

3. Верхняя и нижняя грани числовых множеств.

4. Свойства точных граней множества.

5. Плотность множества рациональных чисел во множестве действительных чисел.

 

 

Лемма

Лемма – греческое слово (вспомогательное утверждение, необходимое в цепи логических рассуждений для доказательства некоторой теоремы).

Лемма. Пусть ℝ, причем . Тогда существуют ,  такие, что  окрестность точки  при пересечении с  окрестностью точки  дает пустое множество: U U .

Доказательство:

I. 1. Если ℝ, то возьмем  при .

2. Получим такие окрестности точек  и :

3. Очевидно, что окрестности не пересекаются.

II. 1. Если ℝ, а , то в качестве  подходят: , .

2. Получим такие окрестности точек  и :

3. Очевидно, что окрестности не пересекаются.

III. 1. Если , ℝ, то в качестве  подходят: , .

2. Получим такие окрестности точек  и :

3. Очевидно, что окрестности не пересекаются.

IV. 1. Если , , то при произвольном  окрестности точки ,  не пересекаются.

2. Покажем это:

ч.т.д.

Замечание. Если ℝ и , то для двух любых , таких что U , U  справедливо неравенство: .

ℝ, U , U : .

Примеры. Определить, какие множества заданы следующими неравенствами.

1.  или , т. е. ; .

Ответ: отрезок .

2. .

Ответ: объединение двух полуинтервалов .

3. .

Ответ: интервал .

4.

Ответ: объединение двух интервалов .