2020-10-10
403
Лекция №3
1. Лемма о непересекающихся окрестностях.
2. Ограниченные и неограниченные множества.
3. Верхняя и нижняя грани числовых множеств.
4. Свойства точных граней множества.
5. Плотность множества рациональных чисел во множестве действительных чисел.
Лемма
Лемма – греческое слово (вспомогательное утверждение, необходимое в цепи логических рассуждений для доказательства некоторой теоремы).
Лемма. Пусть 
ℝ, причем 
. Тогда существуют 
, 
такие, что 
окрестность точки 
при пересечении с 
окрестностью точки 
дает пустое множество: U 
U 
.
Доказательство:
I. 1. Если ℝ, то возьмем 
при .
2. Получим такие окрестности точек 
и 
:
3. Очевидно, что окрестности не пересекаются.
II. 1. Если 
ℝ, а 
, то в качестве 
подходят: 
, 
.
2. Получим такие окрестности точек 
и 
:
3. Очевидно, что окрестности не пересекаются.
III. 1. Если 
, 
ℝ, то в качестве подходят: 
, 
.
2. Получим такие окрестности точек и :
3. Очевидно, что окрестности не пересекаются.
IV. 1. Если , 
, то при произвольном 
окрестности точки 
, 
не пересекаются.
2. Покажем это:
ч.т.д.
Замечание. Если 
ℝ и 
, то для двух любых 
, таких что 
U 
, 
U 
справедливо неравенство: 
.
ℝ, 
U , U 
: .
Примеры. Определить, какие множества заданы следующими неравенствами.
1. 
или 
, т. е. 
; 
.
Ответ: отрезок 
.
2. 
.
Ответ: объединение двух полуинтервалов 
.
3. 
.
Ответ: интервал 
.
4. 
Ответ: объединение двух интервалов 
.
