Промежутки действительных чисел

4 5 6 7 8 9 10

I. Ограниченный промежутки:

а) отрезки ℝ: , ℝ.

б) интервалы ℝ: , ℝ.

в) полуинтервалы:

1. ℝ: , ℝ.

2. ℝ: , ℝ.

Замечание. В случае отрезок состоит из одной точки.

Определение 1. Интервал называется внутренностью отрезка .

II. Неограниченные промежутки.

а) интервалы:

ℝ: , ℝ.

ℝ.

б) полуинтервалы:

ℝ: , ℝ.

Определение 2. Отрезки, интервалы, полуинтервалы называются промежутками, а точки а, – их концами, а ℝ, b ℝ.

Определение 3. Если а и b – конечные числа, то действительное число называется длиной промежутка с концами а и b.

Определение 4. Если хоть одно из чисел а и b является бесконечным, то промежуток называется бесконечным.

Свойство промежутков всех типов расширенной числовой прямой.

Если точки ℝ, ℝ, причем , принадлежат некоторому промежутку с концами ℝ, ℝ, то весь отрезок принадлежит этому промежутку.

Примеры:

1. Из отрезка удален интервал . Что осталось?

Ответ: Остались концы промежутка: точка с координатой : и точка с координатой .

Или через множество: .

2. Из отрезка вырезан интервал . Как записать множество оставшихся точек отрезка с помощью промежутков?

Ответ: – отрезки.

3. Из интервала вырезаны два отрезка и . Какие промежутки остались?

Ответ: – остались такие интервалы.

Понятие – окрестности

Определение. Если является действительным числом, то для любого – окрестностью точки называется интервал .

Обозначается – окрестность так: U .

На координатной прямой:

1. Если , то – окрестность точки будет такой U . Графически:

2. Если , то – окрестность точки будет такой U . Графически:

Замечание 1. При определении – окрестности бесконечно удаленных точек можно брать не только положительные , но и любые ℝ. Условие накладывается лишь с целью единообразия определений.