Ограниченные и неограниченные множества

Определение 1. Если для подмножества действительных чисел Е существует такое число , что Е выполняется неравенство , то множество Е называется ограниченным сверху.

Множество Е ℝ ограниченно сверху ℝ) .

Все элементы множества Е лежат левее точки , т.е.

Пример. Множество отрицательных чисел сверху ;ℤ .

Определение 2. Если множество не является ограниченным сверху, то его называют неограниченным сверху множеством.

Пример. ℕ не ограниченно сверху.

Определение 3. Если для любого подмножества действительных чисел

существует такое число , что  выполняется неравенство , то множество  называется ограниченным снизу.

Множество ℝ ограниченно снизу ℝ) .

Все элементы множества лежат правее точки , т.е.

Пример. Множество натуральных чисел ограниченно снизу 1.

Определение 4. Если множество не является ограниченным снизу, то его называют неограниченным снизу.

Пример. Так множество отрицательных чисел неограниченно снизу.

Определение 5. Множество, ограниченное сверху и снизу называется ограниченным.

Другими словами: подмножество действительных чисел  называется ограниченным, если существуют такие числа  и , что  выполняется неравенство: , .

Пример. Отрезок представляет собой ограниченное множество.

Определение 6. Если множество не является ограниченным, то его называют неограниченным.

Пример. Интервал  не является ограниченным.