2020-10-10
293
Определение. Если каждому числу п из натурального ряда чисел 1, 2, 3,.... п,... поставлено в соответствие действительное число хn то множество действительных чисел x1, x2,..., xn (1)
называется числовой последовательностью [27].
Числа x1, x2,..., xn - называются элементами (членами) последова- тельности (1).
Число xn - общий элемент последовательности.
п – номер элемента последовательности.
Сокращенно последовательность (1) обозначается символом {xn} [27].
Пример. Символ {1/n2} обозначает последовательность {1, 1/4, 1/9,…, 1/n2,…}.
Числовая последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента.
Пример. Формула xn=2п+1 задает последовательность: 3 ;5;7;9;.... Пример. Обращая дробь 1/3 в десятичную и оставляя один, два, три и так далее знака после запятой, получаем последовательность
; 
; 
; ….
По самому определению, последовательность содержит бесконечное число элементов. Любые два ее элемента отличаются, по крайней мере, своими номерами.
Геометрически последовательность изображается на координатной пря-мой в виде последовательности точек. Координаты этих точек равны соответ-ствующим элементам последовательности. На рис.1. изображена последо-вательность {xn}={1/n}:1, 1/2,1/3, 1/4, 1/5,… [27].
|
|
|
Рис.1.
Арифметические действия над числовыми последовательностями
Определение. Пусть даны последовательности {xn} и {yn}. 
1. Произведением последовательности {xn} на число m назовем после-
довательность: mx1, mx2, …, mxn, …. т{xn}={тxn}.
2. Алгебраической cуммой двух последовательностей называется после-довательность: x1 
y1 , x2 
y2,…, xn yn, …. {xn} {yn}={xn yn}
3. Произведением двух последовательностей назовемпоследовательность
x1 y1 , x2 y2,…, xn yn,…. {xn}{yn}={xnyn}
4. Частным двух последовательностейназовем последовательность
,
если все члены последовательности {yn} отличны от нуля [28].
