1. Свойство точной верхней грани множества:
Как бы ни было мало число , найдется такое число , что справедливо будет неравенство: .
Если такое число не найдется, то число станет точной верхней гранью множества . А число перестанет быть точной верхней гранью, т.е. наименьшим из всех чисел, ограничивающих сверху множества .
Другими словами свойство точной верхней грани: число является наименьшим среди чисел, ограничивающих сверху множество , и оно не может быть еще уменьшено.
Пример. Пусть множество ограничено сверху и .
Тогда число . Значит, элемент множества число .
А для всех элементов этого множества выполняется неравенство: . Следовательно, число не может быть точной верхней гранью.
2. Свойство точной нижней грани множества.
Как бы ни было мало число , найдется такое число , что будет выполняться неравенство: , т.е. число является наибольшим и не может увеличено еще даже на .
Пример. Пусть множество ограничено снизу и , .
Значит, число .
Тогда элементы , , а для всех элементов множества должно выполняться неравенство .
|
|
3. Теорема. Всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет точную верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет точную нижнюю грань.
Доказательство:
1. Пусть непустое числовое множество, ограниченное сверху.
2. Тогда множество , ограничивающее множество сверху, также будет непустым.
3.Из определения верхней грани следует, что для и имеет место неравенство:
4. В силу свойства непрерывности действительных чисел существует такое число , что для любых и выполняется неравенство: . (1)
5. Из левой части неравенства (1) следует, что число ограничивает множество сверху.
6. Из правой части неравенства (1) следует, что число наименьшее из чисел, ограничивающих множество , следовательно, число является точной верхней гранью: .
ч.т.д.
Замечание. Случай существования точной нижней грани доказывается аналогично.