Интегральная формула Коши

Следующая серия задач решается с помощью формул Коши:

и .

Здесь будут комбинированные задачи, состоящие из нескольких подзадач, где контур проводится сначала вокруг той или иной точки разрыва, а затем вокруг всех этих точек.

Задача 41. Вычислить  , где контур :

А)    Б)    В) .

Решение. В знаменателе разложим на множители, и станет видно, что корни многочлена там 2 и .

 = .

Если контур радиуса 0,5 окружает одну из точек, то надо применить интегральную формулу Коши, где точка  одна из них, а именно, в первом пункте , а во втором . Надо убрать из знаменателя соответствующую скобку, и присвоить конкретное  вместо  в оставшейся части функции. 

А)  =  =  =  =  =  .

Б)  =  =  =  =  =  .

В) В третьем пункте, где контур окружает уже обе точки, достаточно будет воспользоваться теоремой Коши и суммировать результаты двух предыдущих пунктов. Получится .

Ответы. А)      Б)   В) .

Задача 42. Вычислить , где контур :

А)    Б)    В)    Г)  Д) .

Решение. В каждом случае применяем интегральную формулу Коши к той или иной точке разрыва функции, 2, 3 и 5. Убирая соответствующий множитель из знаменателя, затем подставляем в оставшуюся часть функции это число.

А)  =  = .

Б)  =  = .

В)  =  = .

Если радиус 6, то все 3 точки находятся внутри контура. Суммируем все 3 результата: 

Г)  +  = 0.

В последнем случае, лишь две из трёх точек внутри контура: 

Д)  =   .

Ответы.  А)    Б)      В)     Г) 0 Д)  .

 

Задача 43. Вычислить .

Решение.  = . Здесь две особые точки, это , они являются полюсами 1 порядка. Тогда в каждой из этих точек применим интегральную формулу Коши.

 =  =

 = .

Ответ. 0.

Задача 44. Вычислить , где контур :

А)    Б)    В) .

Решение.  

А)  =  =  = .

Б) В этом случае корень знаменателя имеет кратность 3, так что придётся считать с помощью 2-й производной.

Конкретизируем обобщённую формулу Коши для 3 степени:  

, при n=2:  . Тогда  =  =

 =  =  =  =  =  = .

 

В)  = 0.

Ответы.   А)    Б)   В) 0. 

Задача 45. Вычислить , где контур :

А)    Б)    В) .

Решение.  

А)  =  =  = 0.

Б)  =  =  = = .

В) 0+  = .

Ответы. А) 0 Б)        В) .

 

  

Задача 46. Вычислить , где контур :

А)     Б)      В)      Г) .

Решение. Так как здесь в интеграле уже изначально есть множитель , то домножать на   в правой части не нужно.

А)   =  = .

Б)   =  = .

В) В отличие от двух первых точек, здесь в знаменателе корень 2-го порядка, поэтому подставляем  не сразу, а после вычисления производной. 

 =  =  =  =  =  = .

Г) По интегральной теореме Коши, сумма интегралов по трём предыдущим контурам:  +  = 0.

Ответы. А)        Б)     В)     Г) 0.    

Задача 47. Вычислить .

Решение. Здесь две особые точки,  полюс 1-го порядка и  полюс 2-го порядка. Для 2-й точки надо применять обобщённую формулу Коши (с производной).

 =  =

 =  =

.

Ответ. 0.

Задача 48. Вычислить .

Решение. Внутри окружности радиуса 2 лежат 2 из 3 особых точек, а именно, 0 и 1, точка 3 снаружи.

Поэтому интегральную формулу Коши применяем только к двум точкам.

 =  .

Предварительно вычислим производную.

 =  =  = .

Далее,  =

 =  =

 = .

Ответ. .

Задача 49. Вычислить .

Решение.  , тогда    =  =  =  = =

Ответ. .