2020-10-11
122
Следующая серия задач решается с помощью формул Коши:
и 
.
Здесь будут комбинированные задачи, состоящие из нескольких подзадач, где контур проводится сначала вокруг той или иной точки разрыва, а затем вокруг всех этих точек.
Задача 41. Вычислить 
, где контур 
:
А) 
Б) 
В) 
.
Решение. В знаменателе разложим на множители, и станет видно, что корни многочлена там 2 и 
.
= 
.
Если контур радиуса 0,5 окружает одну из точек, то надо применить интегральную формулу Коши, где точка 
одна из них, а именно, в первом пункте 
, а во втором 
. Надо убрать из знаменателя соответствующую скобку, и присвоить конкретное вместо 
в оставшейся части функции.
А) 
= 
= 
= 
= 
= 
.
Б) 
= 
= 
= 
= 
= 
.
В) В третьем пункте, где контур окружает уже обе точки, достаточно будет воспользоваться теоремой Коши и суммировать результаты двух предыдущих пунктов. Получится 
.
Ответы. А) 
Б) 
В) 
.
Задача 42. Вычислить 
, где контур :
А) Б) 
В) 
Г) 
Д) 
.
Решение. В каждом случае применяем интегральную формулу Коши к той или иной точке разрыва функции, 2, 3 и 5. Убирая соответствующий множитель из знаменателя, затем подставляем в оставшуюся часть функции это число.
А) 
= 
= 
.
Б) 
= 
= 
.
В) 
= 
= 
.
Если радиус 6, то все 3 точки находятся внутри контура. Суммируем все 3 результата:
Г) 
+ = 0.
В последнем случае, лишь две из трёх точек внутри контура:
Д) = 
.
Ответы. А) Б) В) Г) 0 Д) .
Задача 43. Вычислить 
.
Решение. = 
. Здесь две особые точки, это 
, они являются полюсами 1 порядка. Тогда в каждой из этих точек применим интегральную формулу Коши.
= 
=
= 
.
Ответ. 0.
Задача 44. Вычислить 
, где контур :
А) Б) 
В) .
Решение.
А) 
= 
= 
= 
.
Б) В этом случае корень знаменателя имеет кратность 3, так что придётся считать с помощью 2-й производной.
Конкретизируем обобщённую формулу Коши для 3 степени:
, при n=2: 
. Тогда 
= 
=
= 
= 
= 
= 
= 
= 
.
В) 
= 0.
Ответы. А) 
Б) В) 0.
Задача 45. Вычислить 
, где контур :
А) 
Б) 
В) 
.
Решение.
А) 
= 
= 
= 0.
Б) 
= 
= 
= 
= 
.
В) 0+ 
= 
.
Ответы. А) 0 Б) В) 
.
Задача 46. Вычислить 
, где контур 
:
А) Б) В) 
Г) 
.
Решение. Так как здесь в интеграле уже изначально есть множитель 
, то домножать на 
в правой части не нужно.
А) 
= 
= 
.
Б) 
= 
= 
.
В) В отличие от двух первых точек, здесь в знаменателе корень 2-го порядка, поэтому подставляем 
не сразу, а после вычисления производной.
= 
= 
= 
= 
= 
= 
.
Г) По интегральной теореме Коши, сумма интегралов по трём предыдущим контурам: + 
= 0.
Ответы. А) Б) В) Г) 0.
Задача 47. Вычислить 
.
Решение. Здесь две особые точки, 
полюс 1-го порядка и 
полюс 2-го порядка. Для 2-й точки надо применять обобщённую формулу Коши (с производной).
= 
=
= 
=
.
Ответ. 0.
Задача 48. Вычислить 
.
Решение. Внутри окружности радиуса 2 лежат 2 из 3 особых точек, а именно, 0 и 1, точка 3 снаружи.
Поэтому интегральную формулу Коши применяем только к двум точкам.
= 
.
Предварительно вычислим производную.
= 
= 
= 
.
Далее, 
=
= 
=
= 
.
Ответ. .
Задача 49. Вычислить 
.
Решение. 
, тогда 
= 
= 
= 
= 
= 
Ответ. 
.
