2020-10-11
138
Дано 
, вычислить 
.
Это действие, обратное к тому, что в задаче 17. Поэтому очевидно, что в ответе должно получиться 
= 
= 
= 
= 
=
= 
= .
Задача 18. Найти все значения 
.
Решение. Используем формулу 
.
. Так как 
это действительное отрицательное число, то значит, 
. Итак, 
= 
. Таким образом, это точки в комплексной плоскости, имеющие вид: 
, 
, 
,...
Ответ. 
.
Задача 19. Вычислить 
.
Решение. Применяем формулу 
, где аргумент вместо 
подставим 
. Тогда 
= 
= 
.
Ответ. .
Заметим, что 
, то есть модули значений косинуса вне действительной оси не ограничены отрезком 
.
Задача 20. Решить уравнение 
.
Решение. 
.
Введём замену 
, при этом получаем
. Задача разбивается на 2 шага
1) решим это уравнение и найдём 
,
2) учитывая , запишем 
и далее найдём 
.
Квадратичное уравнение решаем через дискриминант, здесь 
, тогда 
. Оба значения - положительные действительные числа, т.е. им соответствует аргумент 
.
Далее, 
= 
= 
= 
.
Получилось две бесконечных последовательности точек, одна выше а другая ниже действительной прямой. По горизонтали расстояние между соседними ровно 
.
Чертёж:
Замечание. Если число в правой части уменьшать до 1, то обе эти последовательности сближаются и в итоге соединятся в одну, расположенную на действительной прямой. Это будут в таком случае уже давно знакомые решения равенства 
, т.е. 
.
Общий случай. Если 
то 
, 
, 
. Тогда 
, что при 
порождает 
.
Практика 3 (неделя с 14 по 20 сентября).
Условия Коши-Римана.
В следующей серии задач надо представить функцию в виде 
, а также проверить выполнение условий Коши-Римана.
Задача 21. 
представить в виде 
, и проверить выполнение условий Коши-Римана.
Решение. = 
= 
, 
.
Заметим, что условия Коши-Римана не выполнены, даже 1-е:
, 
не равны между собой.
Ответ. , .
Задача 22. Функцию 
представить в виде , проверить условия Коши-Римана.
Решение. = 
= 
=
= 
= 
.
Поэтому 
, 
.
Заметим, что здесь нарушено уже даже 1-е условие Коши-Римана:
, 
.
Ответ. , .
Задача 23. 
представить в виде , проверить условия Коши-Римана.
Решение. = 
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, чтобы сначала шли именно те, в которых нет мнимой единицы , а затем те, в которых она есть.
= 
=
. 
.
Условия Коши-Римана не выполняются, даже 1-е из них:
. 
, они противоположны, а должны совпадать.
Ответ. 
. 
.
Задача 24. 
представить в виде , проверить условия Коши-Римана.
Решение. = 
= 
= 
Далее по формуле Эйлера = 
=
.
Проверим выполнение условий Коши-Римана.
Они совпадают (1-е условие Коши-Римана).
Они противоположны (2-е условие Коши-Римана).
Ответ. 
, 
.
Задача 25. 
представить в виде 
, проверить условия Коши-Римана.
Решение. 
= 
= 
Домножили на сопряжённое, чтобы в знаменателе получилось некое единое действительное число, а разбиение на Re и Im осталось только в числителе. Тогда дробь можно будет разбить на сумму или разность двух дробей.
= 
= 
,
- внутри
, 
.
Проверим условия Коши-Римана
= 
= 
= 
= .
Первое условие выполнено.
, 
= 
, они противоположны, второе условие выполнено.
Ответ. 
, .
Задача 26. 
представить в виде , проверить условия Коши-Римана.
Решение. Если 
, то 
=
= 
= 
далее раскроем по формуле Эйлера:
... = 
=
воспользуемся чётностью косинуса и нечётностью синуса:
... = 
=
=
= 
,
тогда 
, 
.
Это можно ещё записать в таком виде, используя гиперболические синус и косинус: 
.
Проверим условия Коши-Римана.
= 
= .
Первое условие выполнено.
, они противоположны, второе условие выполнено.
Ответ. 
, .
Задача 27. 
представить в виде , проверить условия Коши-Римана.
Решение. = 
=
= 
=
, тогда
, 
.
Проверим условия Коши-Римана.
совпадают;
противоположные.
Условия Коши-Римана выполнены.
Ответ. 
, 
.
Обратная задача:
Восстановление функции 
по разложению .
Примечание. С помощью формул 
, 
.
Задача 28. Дано: 
. Восстановить функцию 
. (обратная к задаче 27).
Решение. Вспомним, что: ,
и применим эти выражения в записи 
.
=
=
=
= 
=
= 
=
= 
Ответ. .
Задача 29. Дано: = 
. Найти вид .
Решение. Подставим 
, 
.
= 
=
= 
= 
= 
. Итак, 
.
Ответ. .
