Задача 17-А (рекомендуемое д-з)

1 2 3 4 5 6 7

Дано , вычислить .

Это действие, обратное к тому, что в задаче 17. Поэтому очевидно, что в ответе должно получиться

= = = = =

= = .

Задача 18. Найти все значения .

Решение. Используем формулу .

. Так как это действительное отрицательное число, то значит, . Итак, = . Таким образом, это точки в комплексной плоскости, имеющие вид: , , ,...

Ответ. .

Задача 19. Вычислить .

Решение. Применяем формулу , где аргумент вместо подставим . Тогда = = .

Ответ. .

Заметим, что , то есть модули значений косинуса вне действительной оси не ограничены отрезком .

Задача 20. Решить уравнение .

Решение. .

Введём замену , при этом получаем

. Задача разбивается на 2 шага

1) решим это уравнение и найдём ,

2) учитывая , запишем и далее найдём .

Квадратичное уравнение решаем через дискриминант, здесь , тогда . Оба значения - положительные действительные числа, т.е. им соответствует аргумент .

Далее,

= = = .

Получилось две бесконечных последовательности точек, одна выше а другая ниже действительной прямой. По горизонтали расстояние между соседними ровно .

Чертёж:

Замечание. Если число в правой части уменьшать до 1, то обе эти последовательности сближаются и в итоге соединятся в одну, расположенную на действительной прямой. Это будут в таком случае уже давно знакомые решения равенства , т.е. .

Общий случай. Если то , , . Тогда , что при порождает .

Практика 3 (неделя с 14 по 20 сентября).

Условия Коши-Римана.

В следующей серии задач надо представить функцию в виде , а также проверить выполнение условий Коши-Римана.

Задача 21. представить в виде , и проверить выполнение условий Коши-Римана.

Решение. = = , .

Заметим, что условия Коши-Римана не выполнены, даже 1-е:

, не равны между собой.

Ответ. , .

Задача 22. Функцию представить в виде , проверить условия Коши-Римана.

Решение. = = =

= = .

Поэтому , .

Заметим, что здесь нарушено уже даже 1-е условие Коши-Римана:

, .

Ответ. , .

Задача 23. представить в виде , проверить условия Коши-Римана.

Решение. =

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, чтобы сначала шли именно те, в которых нет мнимой единицы , а затем те, в которых она есть.

= =

. .

Условия Коши-Римана не выполняются, даже 1-е из них:

. , они противоположны, а должны совпадать.

Ответ. . .

Задача 24. представить в виде , проверить условия Коши-Римана.

Решение. = = =

Далее по формуле Эйлера = =

Проверим выполнение условий Коши-Римана.

Они совпадают (1-е условие Коши-Римана).

Они противоположны (2-е условие Коши-Римана).

Ответ. , .

Задача 25. представить в виде , проверить условия Коши-Римана.

Решение. = =

Домножили на сопряжённое, чтобы в знаменателе получилось некое единое действительное число, а разбиение на Re и Im осталось только в числителе. Тогда дробь можно будет разбить на сумму или разность двух дробей.

= = ,