Способ 2. По формуле Ньютона-Лейбница

Заметив, что функция  аналитическая, т.е. для неё выполняются условия Коши-Римана, можно не раскрывать скобки предыдущим способом, а вычислить первообразную по  в начальной и конечной точке.

 =  = , а дальше всё сводится просто к вычислению степени комплексного числа.

 = , тогда

= .

Ответ.  

Домашняя задача.   Вычислить , где  дуга параболы  (от точки 0 до  ). Ответ. .

 

Задача 38. Вычислить  по участку единичной окружности в 1-й четверти от 1 до .

Решение. Здесь тоже можно вычислять как без, так и по формуле Ньютона-Лейбница. Но разница в объёме вычислений будет огромная.

Так как функция аналитическая, нам не важно, соединены точки по дуге окружности или по какой-то другой линии, на самом деле результат зависит только от первообразной в начальной и конечной точках.  Сделаем по формуле Ньютона-Лейбница.

 =  =  =  = .

Ответ. .

Для сравнения, № 38 можно решить в качестве домашней задачи и без формулы Ньютона-Лейбница.

 

Задача 39.  Вычислить .

Решение. Здесь сумма степенных функций, они являются аналитическими. Поэтому используем формулу Ньютона-Лейбница.

 =  =  .

Отдельно вычислим ,

.

Тогда  = .

Ответ. .

Задача 40. Вычислить .

Решение. Можно применять формулу Ньютона-Лейбница, так как функция  аналитическая.

, тогда:  

, .

 =  =  =  =  =

 = .

Ответ. .

Домашняя задача. Вычислить . Ответ. .

Решение.   =  =  .

Вычислим квадрат и куб этого числа. ,

 = .

Тогда  =  =

. Ответ. .

 

Практика 5 (неделя с 28 сентября по 4 октября).