Алгоритм восстановления u по v или v по u

Поскольку действительная и мнимая части взаимосвязаны условиями Коши-Римана, то достаточно одной её части, чтобы восстановить вторую часть, а далее всю функцию .

Например, нам известна . Тогда = , это криволинейный интеграл 2 рода для векторного поля от фиксированной точки, например (0,0) до произвольной . Нам неизвестны эти частные производные, как и сама функция , однако их можно заменить на известные, по условиям Коши-Римана.

= и далее вычислить.

Итак, алгоритм:

1. Проверить выполнение уравнения Лапласа (иначе или не может быть частью какой-то единой комплексной функции).

2. Вычислить криволинейный интеграл.

3. В полученной функции выразить по формулам: , . При правильном вычислении сократятся все и останется только .

Задача 30. Дано . Найти мнимую часть и восстановить вид функции .

Решение. Сначала проверяем уравнение Лапласа.

, , сумма 2-й производных равна 0, то есть является одной из компонент комплексной функции.

= = , где .

Итак, найдём криволинейный интеграл . Сделаем это с помощью интегрирования по ломаной, как при вычислении потенциала поля.

= = .

Если известно, что = , то далее найти вид - делали в задаче 29,

Ответ. .

Задача 31. Дано , . Найти .

Решение. Сначала проверим уравнение Лапласа

в сумме 0.

Их сумма равна 0. Уравнение Лапласа выполняется. Поэтому данная может являться одной из компонент какой-либо комплексной функции. Далее надо вычислить , найдём её в виде потенциала от её градиента: то есть в виде потенциала векторного поля . Дело в том, что в такой записи можно заменить производные от неизвестной функции на производные от известной функции по условиям Коши-Римана. . А первые производные от уже известны, мы их вычисляли выше в процессе проверки уравнения Лапласа. Как и при вычислении потенциала, в качестве начальной точки как правило, принимаем (0,0) и интегрируем по ломаной.