2020-10-11
121
Задача 32. 
.
А. Найти 
Б. Найти 
.
Решение. Проверим уравнение Лапласа.
, 
.
Сумма вторых производных равна 0.
Ищем 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
.
При произвольном выборе начальной точки, 
, из условия 
определим константу 
. Если 
то 
, тогда 
.
.
Итак, 
= 
= 
= 
. Здесь можно даже не пользоваться формулами 
, 
, ведь мы уже сумели получить 
в первой скобке, а во 2-й 
в обратном порядке и одна с минусом, если домножить и поделить на 
, то также удастся получить выражение с 
.
= 
= 
= 
= 
= 
.
Для сравнения - старым методом:
= 
=
= 
=
= 
.
Ответ. 
.
Интегрирование функций комплексного переменного
Задача 33. Вычислить 
по отрезку от 0 до 
.
Решение. 
= 
= 
=
а это уже 2 криволинейных интеграла второго рода от различных векторных полей. Причём на вертикальном отрезке, соединяющем 0 с точкой 
, фиксировано 
, а значит и 
, т.е. исчезают все слагаемые, где есть 
или 
.
При этом 
. Итак, 
= 
= 
= 
= 
.
Ответ. 
.
Задача 34. Вычислить по окружности радиуса 
.
Решение. Изначально преобразование с раскрытием скобок точно такое же, как и в прошлой задаче: = = 
= 
.
|
|
|
Дальше, криволинейные интегралы вычисляются иначе из-за того, что другая кривая. На окружности наилучший способ задать точку - параметрически: 
, 
. При этом 
.
Также вычислим дифференциалы: 
, 
.
= 
= 
= 
.
Ответ. .
Задача 35. Вычислить 
по отрезку от 0 до 
.
Решение. Так как 
, то функция не аналитическая, т.к. частные производные от 
будут какие-то функции, а от 
нулевые, и точно не будет совпадений, которые нужны для условий Коши-Римана. Поэтому формулу Ньютона-Лейбница здесь применить нельзя, а только универсальный способ с разложением на 
. Отрезок от (0,0) до (1,3), он характеризуется явным уравнением 
, при этом 
, 
.
= 
= 
=
= 
=
= 
.
Ответ. 
.
Задача 36. Вычислить 
, где АВ - участок кубической параболы 
от (0,0) до (1,1).
Решение. = 
=
= 
.
Теперь сведём все получившиеся криволинейные интегралы к одной лишь переменной , заменяя 
и 
, где 
.
=
= 
=
= 
.
Ответ. .
Задача 37. Вычислить 
по отрезку от 0 до 
.
Решение. Способ 1. Без формулы Ньютона-Лейбница.
= 
=
=
Далее используем явное выражение 
, так как отрезок соединяет точки (0,0) и (1,2). При этом 
, .
=
= 
= 
.
