Корни из комплексных чисел

Вспомнить формулу:  .

Задача 11. Вычислить .

Решение. Для числа : .

По формуле  получаем 

 = , значений будет всего 2.

:  = ,

: = .

Ответ.

 

Задача 12. Вычислить .

Решение. Сначала запишем число в тригонометрической форме.

. Тогда

 =

. Начертим окружность радиуса 2 и отметим там 6 точек, первой соответствует угол 30⁰, остальные больше на 60⁰, 120⁰ и так далее. 

.

Ответ.  и .

 

 

Задача 13. Вычислить

Решение.   Формула: .

Сначала найдём модуль и аргумент исходного числа.

 (т.к. 90 градусов и ещё 30 во второй четверти),

.

Тогда  =  =  таким образом, 4 точки лежат на окружности, углы 30⁰, 120⁰, 210⁰, 300⁰ (по +90⁰ добавить 4 раза). Отмечены на чертеже зелёным. Здесь 4 корня:

:  =  = .

:  =  = .

:  =  = .

:  =  = .

Чертёж:

 

Ответ.   и .

Функции комплексного переменного.

Задача 14.    Дано . Найти .  

Решение.  =  =  =  = .

Ответ. .

Задача 15.   Дано . Найти .

Решение.  =  = . Далее с помощью прямоугольного треугольника вычислим . Если надо найти синус и косинус того угла, тангенс которого равен 3, то сначала подпишем длины катетов по известному тангенсу, гипотенуза  вычислится автоматом по теореме Пифагора, а далее будет уже известны синус и косинус.

 =  = .

Ответ. .

 

Задача 15-А.  По формуле .  вычислить .

Решение. Найдём модуль и аргумент: , . Тогда  = .

Как видим, это обратная операция, т.е. с точностью до добавки  мы как раз и получили то, что было в условии исходной задачи.

Если возвести экспоненту в степень любого из этих значений логарифма, в частности,   при , то получится .

 

Задача 16. Дано . Найти .

Решение.  =  =

 =

 . Делаем аналогично тому, как в прошлой задаче, просто треугольник здесь во 2 четверти (угол  отмеряется от 180 в обратном направлении).

Но гипотенуза всё равно легко вычисляется по теореме Пифагора: , тогда  = .

Ответ. .

Логарифм.  Вспомнить формулу: .

, т.е. любое целое число.

Задача 17.  Найти все значения .          

Решение. Используем формулу .

Для числа , , . Тогда

.

Чертёж: бесконечная последовательность точек, на уровне абсциссы

, по высоте каждая пара соседних отличается на .

Ответ. .