Функция называется однородной функцией -го порядка (измерения), если выполняется равенство
.
Например, функция есть однородная функция второго порядка, поскольку
.
Дифференциальное уравнение называется однородным, если функция есть однородная функция нулевого порядка.
Однородное ДУ можно представить в виде
. (7.4)
Однородное уравнение (7.4) преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи подстановки
или, что то же самое, .
Действительно, подставив и в уравнение (7.4), получаем или , т.е. уравнение с разделяющимися переменными. Найдя его общее решение (или общий интеграл), следует заменить в нем на . Получим общее решение (интеграл) исходного уравнения.
Линейные уравнения
Дифференциальное уравнение называется линейным, если его можно записать в виде
, (7.5)
где и – заданные функции или постоянные.
|
|
Особенность линейного ДУ: искомая функция и ее производная входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.
Решение уравнения (12.5) ищется в виде произведения двух функций , где и – неизвестные функции от , причем одна из них произвольна. Тогда . Подставляя выражения и в уравнение (12.5), получаем или
. (7.6)
Подберем функцию так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решим ДУ с разделяющимися переменными
.
Интегрируя, получаем .
Ввиду свободы выбора функции , можно принять . Тогда
.
Подставляя найденную функцию в уравнение (7.6), получаем ДУ с разделяющимися переменными
.
Возвращаясь к переменной , получаем решение исходного ДУ (7.5)
.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка