Основные свойства определенного интеграла

1.   Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: .

2. По определению полагается: .

3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: .

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов:

.

5. Для любых чисел  и   имеет место равенство

.

6.   Если функция   всюду на отрезке , то

.

7.   Если  всюду на отрезке , то

.

8.   Если функция  интегрируема на , то

.

9.   Если  и   – соответственно максимум и минимум функции  на отрезке , то

.

10.   «Теорема о среднем». Если функция  непрерывна на отрезке , то существует точка  такая, что

.

Число   называется средним значением функции  на отрезке .

 

Основная формула интегрального исчисления

Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла от непрерывной функции является формулаНьютона-Лейбница:

                          .                          

 

Основные правила интегрирования

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 6.4.   Пусть:

1)   – непрерывная функция на отрезке ;

2) функция  – дифференцируема на ,

 – непрерывна на  

и множеством значений функции  является отрезок ;

3) .

Тогда справедлива формула       ,  которая 

называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Отметим, что:

1) при вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной возвращаться к старой переменной не требуется;

2) часто вместо замены переменной  применяют подстановку ;

3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных!

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема 6.5. Пусть функции  и  имеют непрерывные производные на отрезке ; тогда справедлива формула

                                     ,                                           

которая называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

 

Геометрические приложения определенного интеграла