Площадь плоской фигуры

Рассмотрим на плоскости фигуру, ограниченную графиком непрерывной и положительной функции , осью и вертикальными прямыми и (рис 6.2). Такая фигура называется криволинейной трапецией.

Рис. 6.2

Площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу от функции на отрезке :

Отметим, что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси (), то ее площадь может находиться по формулам

или .

Если фигура ограничена кривыми и (где ), прямыми и (см. рис. 5.3), то площадь криволинейной трапеции находится по формуле

Рис. 6.3

Объем тела вращения

Пусть вокруг оси вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией , осью и прямыми и (см. рис. 5.4). Объем тела вращения определяется формулой

Если тело образовано вращением криволинейной трапеции вокруг оси , то выражая через как обратную функцию, получаем аналогичную формулу для объема тела вращения:

где – область изменения функции .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные называются дифференциальными уравнениями (ДУ) (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.).

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Так, решением уравнения является функция – первообразная для функции .

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкновенным; в противном случае – ДУ в частных производных. В данном учебном пособии будут рассматриваться только обыкновенные ДУ.

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения.

Например, уравнение – обыкновенное ДУ третьего порядка, а уравнение – первого порядка; – ДУ в частных производных первого порядка.