Символический метод расчета электрических цепей

Наиболее широкое распространение получило представление гармо­нических колебаний с помощью комплексных чисел. Представим ток , определяемый формулой (6.1), на комплексной плоскости, т.е. изобразим на комплексной плоскости вектор I _m с учетом на­чальной фазы  (рис.7.1). Чтобы отобразить изменение текущей фазы, будем вращать этот вектор в поло­жительном направлении (против часовой стрелки) с угловой час­тотой . Тогда в любой момент времени положение вращающегося вектора определится комплексной величиной (комплексным гармо­ническим колебанием):

                           (7.1)

 отражает проекцию вращающего­ся вектора на вещественную ось, а  — на мнимую ось.

                                                            Рис. 7.1.   

Таким образом, гармонический ток  может быть представлен в виде проекции вращающегося вектора на вещественную ось комплексной плоскости:

                                       ,                         (7.2)

где Re — сокращенное обозначение слова Realis (действительный, вещественный),

 Im — сокращенное обозначение слова Imaginarins (мнимый). Величина  носит название комплекснойамплитуды тока:

                                                                                               (7.3)

Важным свойством комплексной амплитуды является то, что она полностью определяет гармоническое колебание заданной час­тоты , так как содержит информацию об его амплитуде и на­чальной фазе.

Комплексное действующее значение тока:   

       Для каждого комплексного числа возможны три формы представления: алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы.

С учетом приведенных в лекции 6 соотношений между токами и напряжениями на элементах электрической цепи (6.8, 6.10, 6.12) комплексные сопротивления элементов цепи имеют вид:

                                                 (7.4)

Множитель    характеризует фазовый сдвиг меж­ду векторами тока  и напряжения .         

В электрических цепях находят применение магнитно-связанные катушки индуктивности. На схемах они изображаются, как показано на рис. 7.2, где М – взаимная индуктивность. Знак э.д.с. взаимной индукции в индуктивностях L ₁ и L ₂ зависит от направления включения катушек индуктивности, что показано на рис. 7.2 жирными точками. Если катушки включены так, что ток в них протекает одинаково относительно зажимов, то они включены “согласно” (рис. 7.2.а). Если ток протекает в разных относительно зажимов направлениях, то катушки включены “встречно”(рис. 7.2.б).

                                                      Рис. 7.2

       При символическом методе расчетов комплексное сопротивление магнитно-связанных катушек (на примере индуктивности L ₁) определяется для согласного включения рис. 7.2.а, как , а при встречном включении рис. 7.2.б, как .

При составлении символической схемы (схемы в комплексной области) необходимо заменить элементы исходной схемы (схемы во временной области) их комплексными эквивалентными сопротивлениями. При этом в полученной символической схеме можно указывать (рассматривать) только комплексные значения токов и напряжений и производить их расчет методом комплексных амплитуд.

                                                      Рис. 7.3

       На рис. 7.3 для примера показан переход от электрической схемы к символической, где элементы символической схемы определяются формулами (7.4)

Символический методрасчета цепей в режиме гармонических колебаний (метод комплексных амплитуд) сводит операции над гармоническими колебаниями (временными функциями) к алгебраическим опера­циям над комплексными числами, что существенно упрощает рас­чет. Операции дифференцирования временных функций заменяются в комплексной области ум­ножением на , операции интегрирования — делением на . В результате перехода к комплексным числам вместо системы интегрально-дифференциальных урав­нений, описывающих состояние цепи, получается система алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами, решение кото­рой определяет комплексные значения искомых токов и на­пряжений.

При расчете цепей символическим методом могут быть использованы все законы и методы преобразова­ний и анализа цепей, которые справедливы для цепей постоянного тока.  Для комплексных действующих значений токов и напряжений получим:

                                                          (7.5)

    где

Заменив мгновенные зна­чения токов ветвей  и напряжений  их комплексными амплитудами  и  соответственно, получим законы Кирхгофа в комплексной форме:                                                               (7.6)                                                                                                                          

Поскольку все методы расчета цепей (метод контурных токов, узловых потенциалов, наложения и др.) базируются на законах Ома и Кирхгофа, то все эти методы могут использоваться и при комплексной форме записи с заменой соответствующих величин (токов, напряжений, сопротивлений, проводимостей) их комплексными значениями. Например, для схемы рис. 7.3. получаем   U =   I ∙ (Z_R + Z _L+ Z _C).

Лекция 8